本文导读

接前文怎么理解牛顿力学的目的、原理与有效性？ | David Tong 《Dynamics and Relativity》，本文聚焦于一维情况下势能函数的相关知识，首先，介绍势能的定义及其与力的关系，阐述了能量守恒在保守运动中的作用。

接着，通过均匀重力场和谐振子这两个典型例子，分别展示利用它们的势能函数写出其运动方程、速度与位置随时间的变化规律等，便于我们了解基本物理模型的构建与分析的方法。

然后，讨论一般情况下的一维势能函数，展示如何借助能量守恒将二阶形式的运动方程转化为一阶微分方程并分析其通解形式，强调守恒量在解决问题中的关键作用。

特别地，以三次函数形式的势能为例，深入探讨了粒子在不同初始位置时的运动轨迹可能性，即使面对难以求解的积分，通过分析势能曲线就能定性理解粒子行为，如粒子是否被困或逃逸，还详细分析了特殊位置处粒子的运动特征。

一维情况下的势能

首先考虑一个做直线运动的粒子，它的位置可由函数确定。目前，假设作用在粒子上的力仅取决于位置，而与速度无关，即。我们通过如下方程来定义势能：

对（2.1）式两边积分便可得到势能。不过，势能的具体形式与积分常数有关，而这个积分常数可由积分下限的选择来确定（等价于势能零点的选择），即：

这里只是一个哑变量。（哑变量仅仅是一个临时的变量符号，没有实际意义，换成别的符号也行，完成积分后就可以把它扔了。另外，不要把这个撇号与求导混淆了！在本课程中，我们只会对位置关于时间求导，并且总是用变量上方加个点来表示导数。） 依据这个定义，我们可以将运动方程写成：

对于任何仅取决于位置的一维力，都存在一个被称作能量 的守恒量，即

它是守恒量意味着，在粒子任意符合运动方程的轨迹上，均有，也就是能量对时间的导数为零。这里，称为势能，而称为动能。满足（2.2）式所描述运动情况的，便被称作保守运动。

证明能量是守恒的并不难。我们只需对其求导便可得到：

其中，最后一个等号成立得益于（2.2）式所表示的运动方程。

在任何动力学系统中，类似的守恒量都是非常宝贵的。在本课程中，我们会花些时间从各种方程中找出它们，并展示它们如何帮助我们简化各类问题。

例1：均匀重力场

在均匀重力场中，粒子受到恒定的力，，其中是地球表面附近的重力加速度。出现负号是因为力的方向是向下的，而在度量位置时，我们以竖直向上为正方向（称之为方向）。其势能为

请注意，我们以坐标原点作为势能零点，即选择在处令。并没有什么强制的要求让我们必须这样做；我们也可以轻易地给势能加上一个额外的常数，将势能零点移到其它的某个高度上。

匀加速运动的运动方程为：

对其进行简单积分，就能得出在时刻的速度：

其中是在时刻时的初始速度。（注意，是以向上的方向来度量的，所以如果，粒子向上运动；如果，粒子则向下运动。） 再积分一次就可得到位置：

其中是在时刻时的初始高度。

许多高中会讲授（2.4）式和（2.5）式——也就是所谓的“匀变速直线运动基本公式”——称它们是力学的关键公式。其实并非如此。它们仅仅是针对恒定加速度情况对牛顿第二定律进行积分得到的结果。不要死记硬背这些公式；要学会如何推导它们。

例2：谐振子

谐振子是到目前为止整个理论物理学中最为重要的动力学系统。好消息是它非常简单。（实际上，它之所以如此重要，恰恰就是因为它简单！）谐振子的势能被定义为：

谐振子是一个很好的模型，例如，它可用于模拟连接在弹簧一端的粒子的运动情况。与势能对应的力由给出，在弹簧情境中，这被称为胡克定律。于是，谐振子的运动方程可表示为：

它的通解为

这里和是两个积分常数，被称为角频率。可以看到，无论和取何值，所有的运动轨迹在性质上都是相同的：它们只是围绕原点来回振荡。系数和与起始相位一起决定了振动的幅度。完成一次完整振动所花费的时间被称为周期，即

可见，周期与振幅无关。（烦人的是，动能也经常用字母来表示，故不要将其与周期混淆。但愿能根据上下文区分它们。）

如果想对某一给定轨迹确定积分常数和，就需要一些初始条件。例如，若给定时刻时的位置和速度，就很容易得到以及。

\subsection{在势场中运动} 让我们回到一维势能的一般情况。尽管运动方程是一个二阶微分方程，但能量守恒的存在神奇地将其转化为了一阶微分方程，即

这让我们首次察觉到守恒量在解决问题方面的重要性。当然，将二阶方程转变成一阶方程时，我们肯定选定了一个积分常数。在此情况下，积分常数就是能量本身。给定一个一阶方程，我们总能通过积分简单地写出动力学的形式解，

和之前一样，是一个哑变量。如果我们能算出这个积分，那就解决问题了。如果算不出这个积分，有时你会听到说这个问题已经被“归结为求积问题”。这个颇为老式的说法实际意思就是“我算不出这个积分”。不过，常常会出现这样的情况：以这种形式给出的解能让它的某些性质变得明显起来。而且，要是别无他法的话，如有需要，人们总能通过数值计算（比如用笔记本电脑）来求解这个积分。

体会基于势能的分析方法

若势能给定，通常只需简单查看势能的函数形式就能定性了解粒子轨迹的性质。这使我们能够轻松回答一些问题。例如，我们可能想知道粒子是被困在空间的某个区域内还是可以逃逸到无穷远处。

举个例子。考虑三次函数形式的势能

如果将其代入一般形式(2.6)，将会得到一个看起来很可怕的积分，自维多利亚时代至今也未曾求解出来。

事实上，即使不求解该积分，我们也能在描述粒子轨迹上取得一些进展。该势能函数的势能曲线如图所示。让我们从粒子静止于某个位置开始讨论。此时意味着能量为

且该能量在随后的运动中保持不变。接下来会发生什么仅取决于。我们可以确定以下几种可能性。（以下分析可结合保守力等于势能的负梯度，和势能向动能转化这两个事实展开理解）

(1)：这是势能取极大值和极小值的位置。如果将粒子放置在这些位置上，它将永远停留在那里。（极值点处，保守力为零且动能为零，当然静止咯）

(2)：释放的粒子将困于凹陷区域。它会在势能为的两个点之间来回振荡。粒子因能量不够无法继续向右攀升。原则上，它可以到达左侧势能为负的区域，但要到达那里，它必须先越过处的小凸起，而它同样没有足够的能量做到这一点。（这里隐含一个经典力学假设：粒子的轨迹是一个连续函数）。

(3)：释放的粒子会落入凹陷处，并从另一侧爬出，然后向的方向落入无穷远处。

(4)  ：释放的粒子会向左掉落。

(5)：这是一个特殊的位置，因为计算可得，这与局部最大值处的势能相同。粒子落入凹陷处会向着攀升。在到达之前粒子不会停止，因为其静止时的势能。但是，同样地，它也不能带着任何多余的动能到达。唯一的选择是粒子以不断减小的速度向移动，只有在时间时才到达最大值。为确证此事，我们考虑粒子接近势能最大值时的运动。设（其中），于是势能为（舍去项）

结合（2.6）式可得，到达所花费的时间为：

右侧的对数在时会出现发散的情况。正如之前所推断的那样，粒子确实需要无穷长的时间才能到达势能极大值处。

如果粒子初速度不为零，进行与上述类似的分析也很容易。一般来说，如果粒子能量的区间内，粒子会被困在凹陷区域内。（因粒子无法获得足够的能量越过和处的势能障碍）

缘起

作为中学物理教师，我的大量时间被中学物理乃至竞赛的各类习题和琐事占据，对于物理，关注点往往是备授课、题型归纳、解题细节、数学技术的处理等等，然而，一个隐忧逐步显现，脑海中那些所谓的物理知识离现代物理思想相去甚远，恐怕都得打上落后和过时的标签，体会不到现代物理对这个世界描述的精妙，当代物理学家到底是如何认识这个世界的呢？几百年前的经典物理在现代物理的话语体系里面前又是怎样一番景象呢？感到年轻的生命需要新知的滋养。

因此阅读一套立足当代、言简意赅、直达核心、很少习题、专业权威的物理讲义成为了我新的需求。巧的是，知乎上有相当多的朋友对剑桥大学的David Tong教授的讲义推崇备至。工作之余便简单翻一下他写的讲义《Dynamics and Relativity》，一看之下，心生欢喜，完美符合当下我对讲义的需求。

既如此，那就在工作之余，把翻译和学习David Tong的讲义作为今后一段时间的项目，结合AI翻译，以AI为学伴，看不懂的词句翻译一下，不理解内容查一查，学到哪里算哪里。嗯，就这么干。