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近期中小创深度调整，对于抄底，大家都跃跃欲试。那么到底能不能买，买多少为好呢？雪球菌给大家安利一个神奇的公式：凯利公式。你不知道什么是凯利公式？那还不来看看球友@clover42 的科普！
凯利公式：
1、最佳收益率仓位
很多人对投资收益率与仓位的关系有一个模糊的概念：大概仓位越高，收益率越高；因此很多人在股市中喜欢满仓，甚至融资。到底收益率与仓位有什么关系呢？先看下面一个例子。
例如有这样一种机会，有一半概率赚一倍，有一半概率亏50%，这种机会是否值得投资呢？
计算一下期望E=0.5*2+0.5*0.5=1.25，大于1，应该是值得投资的。
先把模型简化一下，对这种机会投资两次，一次赚100%，一次亏50%。
假设本金有100，每次拿出10%的资金投入，第一次赚了10。第二次再拿10%的资金投入，亏损5.5，最终104.5，收益率4.5%；如果每次拿出20%的资金投入，那么收益率为14%。
似乎看来，仓位越高收益越大。为了提高资金的利用率，全部投入。这样计算一下，第一次赚了100，第二次亏了100，收益率为0%。怎么收益率没有提高，反而大幅降低了呢？
我们将仓位和计算收益率的关系画成曲线，如下图所示。这条曲线与直觉是有差异的。显然不是仓位越大收益越高。在超过一个临界点之后，仓位的升高造成了收益的降低。甚至在仓位超过100%之后（未考虑融资成本），收益率竟然是负的！
而这个最大值怎么得到呢？之前有一个叫凯利的人已经研究过了，只要给出胜率和赔率，就能计算出这个最大值：
f=p/a-q/b
p:赢的概率 q：输的概率（1-p） a：输的损失率 b：赢的收益率
把上文的情形带入计算，得到f=0.5。对这种机会，始终投入50%的仓位将获得最大的收益！如果仓位低于该值，收益率会降低，如果仓位高于该值，收益率也会降低，甚至可能出现亏损！也就是说即使是一个赚钱的买卖，仓位控制不当还是会赔钱。
2、黄金准则
通过凯利公式可以推导出如下两条黄金准则：
1） 对于期望≤0的品种，无论如何配置仓位都不能取得正收益；所以赌博、彩票等期望为负的品种没有参与价值。
对于反驳说某某买彩票中大奖的人，需要明白实力与运气的区别。运气是无法通过学习提高的。Michael Mauboussin在《实力、运气与成功》[4]中有详细讨论。也可以读读巴菲特1984年在哥伦比亚大学的著名演讲《格雷厄姆-多德都市的超级投资者们》
在股市中，无数人用烂了的技术指标（KJD/MACD）的期望应该接近于0；
对于参与热点炒作来说更是飞蛾扑火。参考文章《纪念一个不再更新的指数》
关于“猜大小赌局”流传着一个赌徒必胜方法：押100猜大，赢了继续押100猜大，输了赌注翻倍后继续押大，只要赢一次，就会把所有输掉的钱赢回；只要赢了，重新押100猜大。
自己先想想哪里有漏洞，再看专家解答：《赌徒「必胜方法」 对不对？》，
对于参与的投资品种或策略，必须确保期望收益率为正，否则长期必输！
2） 仓位对于收益率具有重要意义
即使投资品种的期望收益率为正，但如果仓位不合适，资产的期望收益率仍可能为负的！
我们知道，现金不产生任何收益，但是在上面的例子中，为什么把一部分的资金以现金的方式拿在手中，反而能够促使资金总额实现增长？这表面上，似乎是现金导致了资金的增长。是不是有点费解？以投资股票为例，因为现金和股票的比例f是一个固定的比例，如果股票价格升高，则总资金中投在股票上的金额所占的比例也升高，这时为了保持f固定不变，就需要卖出一部分股票变成现金；如果股价价格下降，则总资金中投在股票上的金额所占的比例也下降，为了保持f固定不变，就拿出一部分现金用于买入股票。所以，这里的赌注和现金就好象两个水池，比例f就好像它们之间的一个自动化的水泵，赌注上的资金多了，水泵就自动把资金往现金这个池子里面送；现金上的资金多了，水泵就自动把资金往赌注这个池子里面送。这样送来送去，在不做任何预测的情况下，却自动实现了“低买高卖”的效果。这正是对“重操作、不预测”的一个极好的注解。
因此对于股票投资，不要认为50%仓位就是保守策略，牺牲了收益率。实际上仓位过高收益率反而降低。
对于可能归零的品种，不管这个概率有多小，最有策略是永不满仓。
融资买入单一品种，再加上有强制平仓等等限制，有一定的概率爆仓，这种策略波动率极高（获得超高收益的概率增加了，巨幅亏损的概率也增加了），长期下来收益率最终会归零。
3、波动性
对于上述例子中的机会，仓位0.2和0.8，每次投资的期望收益率都是3.9%。那么这两种仓位配置有什么区别呢？
聪明的人马上就会想到，当然选择0.2仓位，因为可以多出60%仓位买货币基金也能提高收益啊。这当然是一方面。下面我们将会从波动性的角度来研究。上述的例子太过简单，只模拟了两次投资情形。下面我们模拟100次投资的情形，如果初始资金为1，仓位0.2，经过100次之后资金规模有多大呢？理论计算应该为47倍。通过软件模拟收益率曲线如图2所示，这次运气比较好，收益为83倍。
虽然输赢的概率都是50%，但实际上投100次输赢的频率并不是严格的50次，因此结果也是不确定的。我们假设有50个人都按照上述0.2仓位进行投资，由于大家的运气不同，最终的投资收益也不一样。如果把大家的收益率曲线都画出来，将得到一簇曲线：
可以看出大家的运气有很大的不同。运气差的收益只有七倍，运气好的收益有两千多倍。
如果50个人按照0.8的仓位进行投资呢？结果如图4所示。虽然期望收益率是一样的，但有人收益千万倍，有人却亏损了99.9%！
可能有人通过这种策略赚了1万倍，参考图4还是有几个人能做到的。然后他们会坚信自己投资策略的正确性，并四处宣扬这种策略。正如全美猜硬币大赛胜出的那几个人一样。然而其它人按照这种策略进行实践的时候，效果却不理想，大部分人收益平平，还有少数人巨亏。
可以看出，随着仓位的增大，收益率是先增大后减小，而结果的随机性一直在增大。随机性越大，运气就显得越重要。
波动率大小与什么有关呢？简单分析就可以知道，由赢时的期望收益与输时的期望收益比值有关。对于图3，该比值为1.2/0.9=1.33，即对于100次投资机会，两个人仅仅有一次运气不同，最终收益会差别33%。对于图4，该比值为1.8/0.6=3，一次坏运气，资产就缩水2/3.
我们把波动性看作风险之一。过高的波动性会带来结果的不可控，并且引申出其它风险。关于风险会在4.3节介绍。对于图4的投资策略，结果的离散性非常大，期望收益率显得微不足道，运气显得更加重要，结果难以预先把握。这种策略更接近于赌博，而非投资。当仓位为100%的时候，收益率曲线就完全与抛硬币猜大小相同了，这时就完全变成了赌博。
虽然上面的例子是50%的仓位对应的期望收益率最高（为6.1%），但此时的波动率是非常大的，超出了很多人的承受能力。大多数人能容忍的波动性是非常有限的，因此合适的仓位比最佳收益率仓位要低得多。
对于投资指数基金，全仓etf还没有动态平衡策略（一半etf，一半现金）收益高。指数波动率越高，动态平衡策略的收益越高。
4、现实问题
让我们回到现实的投资上来。在现实世界里，概率和赔率都很难确定，如何计算最佳仓位呢？
虽然对概率和赔率的准确值难以确定，但会有自己评估的一个范围。对于标的研究的越透彻，我们对概率和赔率评估可以越准确。
一种评估自己的方法就是看看自己的历史交易记录，每只标的的实际情况与当初自己的评估（一定是当时的记录，而非回忆）进行比较。如果有几十或者上百个标的的记录分析，就可以对自己的评估和现实情况进行分析。对概率和赔率的判断是偏保守还是激进，过去评估的准确性有多高，一致性如何，以及如何调整当前的评估方法。
随着仓位的提高，收益率存在最大值，但波动率却逐渐增加。因此对于实际的仓位配置应偏保守为宜，这样即使评估出现偏差，往往是期望收益率的下降。而如果仓位比较激进，出现偏差会导致结果的很大不确定性，期望收益率甚至为负。
单一个股是有归零风险的，到底仓位多少合适因人而异。Graham说过，对于普通人来说，过于集中是赌博，而对于Warren来说不存在这个问题。我的观点基本一致，投资高手当然可以集中一些，但对于普通人来说，个股的确定性太低了，必须充分分散。设想一个极端，即使你对股票一窍不通，只要足够分散（购买指数ETF），就会获得平均收益，甚至能排到中等偏上的位置。市场中的专业投资者非常多，普通人想在个股研究上超越他们及其困难。退而求其次，放弃暴利的幻想，充分分散，通过资产配置和情绪管理，才是合适的选择。
5、多种资产配置
之前探讨的都是单一资产情形，类似股市里只有一只股票，来研究这只股票和现金的比例关系。实际情况是市场里有几千只股票，而且还有债券市场等。
凯里公式可以推导出同时有多个投资机会时的资产配置策略。但推到过程复杂，需要的参数太多。基本结论是如果有多个彼此独立的投资机会，那么每个机会的最优仓位比没有其它机会时低（可以将其它机会看做机会成本），而总仓位会比单个机会的最优仓位高，最终收益率也会比单个机会高。
多种资产配置的核心是要找到相关性较低甚至负相关的投资品种，那么通过资产配置，就可以在不降低收益的同时，降低资产的波动率，显著提高夏普比率。David Swensen管理的耶鲁大学基金会就体现了这一点。由于大学基金每年都有固定的资金支出，因此一旦出现基金净值的向下波动，此时支出的资金就将波动性兑现成永久性损失。他还给普通个人投资者写了一本书《不落俗套的成功》[8]，指出资产配置是投资者收益的主要来源。核心的资产类别包括股票、国债和房地产。多元化要求每种资产类别至少占5%~10%，并且不能高于25%~30%，这样才能使多元化真正起作用。
蛋卷安睡全天候[9]也通过大类资产配置以非常低的波动性获得可观的收益率，其资产包括股票、债券、黄金、油气等美股ETF。
仅对于股票类资产来说，分散持有5~10个是非常有必要的。需要注意的是不同股票之间的波动的相关性是比较强的，即使分散持有上百只股票（如ETF），也无法完全避免整体价格的大幅波动。
6、思考题
在资本市场，什么样的投资品种适合配置较高仓位？
