我们对数学与现实之间关系的探讨已经接近尾声，现在，我们不可避免地要提到一个现象。有人认为，至少物理学领域目前正处于本末倒置的状态——数学占据了主导地位，长此以往，很容易导致令人不安的后果，即科学家的研究将越来越难以被普通人理解。
物理学家尤金·维格纳讲过一个故事。两名昔日中学好友在一起聊天，其中一个人是统计学家，正在自豪地介绍自己的工作。他拿出一篇介绍人口变化规律的论文，然后告诉他的朋友，根据某种分布类型（高斯分布）可以预测人口将发生哪些变化。在这个过程中，他不可避免地要解释这篇论文里出现的大量晦涩难懂的数学符号。
朋友认为统计学家在论文里描绘的那幅图其实是一堆抽象数字的直观表示，对此他产生了怀疑：怎么能用这幅图来预测一群人，一群活生生的、有自己想法的个体的行为呢？但是，他发现这些数学符号中还隐藏着更加令人难以置信的东西。他指着论文中的一个符号，询数学世界的探奇之旅问它的含义。统计学家说：“这是π。你应该知道π的含义，就是圆的周长与直径之比。”朋友摇了摇头：“原来你真的在捉弄我。人口怎么可能与圆的周长有关呢？”
维格纳是在一个讲座的开场部分讲述了这个故事的，目的是解释“数学在自然科学中不可思议的有效性”。他认为，这种不可思议的有效性表现在两个方面。第一，数学可以出人意料地应用于某些看似不相关的领域（例如，在研究人类行为时，π的出现就会令人感到奇怪）。第二，我们不能因为这些数学概念具有相同的规律，就断言这些数学概念与现实之间存在某种联系。这可能只是一种巧合，而我们在实验时正好碰上，因此效果不错。但是等到明天，或者当我们将它应用于另一种情况时，它也许就不适用了。
现在，我们可以回过头来看看数学的诞生过程。在本书前几章里我告诉大家，数字在刚开始的时候是用来表示实物的。最初，数字可能与计算山羊数量的手指相匹配，然后又与计算其他事物数量的手指相匹配，这可能是数字的第一个抽象化过程。接着，数字进一步抽象化，变成了表示手指的符号。然而，在这个阶段，数字与实物之间的关系仍然非常清楚、直接。随着数学的发展，负数使数学与现实之间的关系渐渐疏远（负数就相当于从整体中取走的物体的数量），随后数学领域又引入了虚数、0等数字。维格纳说：
大多数更高层次的数学概念……被精心设计出来，这是因为这些数学概念是数学家展示自己的创造力和对形式美的品鉴能力的理想平台。
我们看到数学家正在不断突破可能性的限制，尽可能地拓展数学的应用领域，提出了一系列在逻辑上不会产生冲突的概念。即使搭建而成的完整结构在现实世界中没有实用价值，也找不到与之匹配的对象，他们也乐此不疲。与此同时，他们还为自己的所作所为感到震惊、困惑。之所以有这种感觉，是因为这些数学家（他们也是凡人）在创造一个个小世界，并取得数量众多而且和谐统一的成果（尽管有时候需要修改规则，例如将1从素数集中剔除）。与此同时，这个过程也会让外行人感到困惑，因为他们认为有的成果除了可以用来炫耀自己的智商以外毫无意义，却仍然有人愿意耗费时间和精力，从事这方面的研究。
但是，纯粹以实用性来引领研究方向是不切实际的，科学研究如此，数学也如此。我们必须赋予数学家做实验的自由，因为我们不知道数学上含混不清的辩解之词何时会变成实用的工具。这个特点让那些政客以及负责为科学和数学拨付研究资金的其他局外人感到特别为难，他们觉得自己划拨的那些钱款似乎是供人“玩乐”的。如果拨款对象从事的是纯粹的数学研究，就等于为他们研究那些不切实际的抽象概念买单。但是，我们根本不知道这些概念什么时候会发挥作用。
数学家和科学家就像收藏家一样，他们如饥似渴地把那些看似无用的东西收藏起来，希望有一天这些东西会变成无价之宝。一旦如此，它们就会产生深远的影响。20世纪初，数学界以外的人几乎都不清楚非欧几何的发展前景——当然，爱因斯坦不在此列。除了可以在地球的弯曲表面上确定航行方向以外，非欧几何似乎与现实没有任何联系。但是，爱因斯坦创立的广义相对论却离不开它。
数学家在研究数学时无拘无束，根本不需要考虑其是否与现实有关。实用价值不应该成为评判数学研究的基本标准，就像我们不能根据载人飞船太空探索的副产品（为把人类送入太空所投入的智力和财力给社会带来的额外好处）的多少来评判这项活动一样。在这些副产品中，有的是实实在在的好处，但影响力通常比较小，有的则是不合逻辑的建议。人们常常罗列出GPS（全球定位系统）、气象卫星、空间望远镜等，作为支持载人航天活动的理由。但是，实际上，无须花费大量财力，以及执行各种危险的太空任务，人们也可以得到这些副产品。
与之类似，在评判数学家的抽象数学研究时，我们也可以列举出纯粹数学在应用方面的诸多“副产品”，但是大多数数学家从事相关研究却另有目的。过于关注实用价值，可能不利于取得重大突破。数学家希望迎接挑战，乐于享受在精神世界建功立业的乐趣。但是，物理学家通常会受到现实的羁绊，无法在梦想的国度里长时间地遨游。理论上，我们好像也可以创立一门专门研究纯理论的“异种物理学”（或许真的有这样的物理学，但是我电脑上的拼写检查程序却认为这个单词不存在）。事实上，物理学使用的很多模型都非常简单，与现实之间几乎没有多少相似之处，但是物理学研究的目的是预测并解释自然界的各种行为。在借山羊时，人们会用手指表示山羊的数量。同样，研究自然的物理学也不能脱离与自然的联系。
想要更好地理解物理学的研究内容，必须先了解模型的概念。只要有机会，我就会讲述一个在科学家群体中流传的古老笑话，从中一方面可以清楚地看出科学模型的本质，另一方面可以看到内行人和外行人对科学的不同理解。听到这个笑话后，外行人的反应最多是礼貌地一笑了之。笑话涉及的三个人分别是遗传学家、营养学家和物理学家，他们正在讨论赛马的培育方法。遗传学家说：“我们必须根据马的特性选择合适的马匹开展育种工作，多代之后才能培育出最优秀的赛马。”营养学家听后说道：“不对，更重要的是看马在成长过程中营养是否均衡，能否增强肌肉。”物理学家听后摇摇头说：“我们可以假设赛马是一个球面。”
简单化的模型的确可能引人发笑，但其中并不是没有道理可言。
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