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塞格尔广场与海恩的超椭圆设计

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2020-12-08 07:43

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作者 | 范明

来源 | 《和乐数学》

凡是来过斯德哥尔摩的访客，大概无人不知位于市中心的塞格尔广场 (Sergels torg)。广场于1967年建成，得名于瑞典18世纪著名雕塑家赛格尔 (Johan Tobias Sergel，1740-1814)。广场东部是一个超椭圆形的环岛，连结斯德哥尔摩市中心几条最繁华的街道。环岛中央喷泉围绕的玻璃方尖碑 (Glasobelisken) 高37米，建于1974年，是斯德哥尔摩的地标性建筑。广场西部是一个低于地面十米的平台，用黑白两色三角形地砖铺设，四面八方通向巨大的地下商场。这里是人们交流、聚会的中心，还是斯德哥尔摩地铁中心站T-Centralen的主要入口处之一，塞格尔广场的设计以及蕴藏的文化、数学、科学内涵是一个非常有趣的故事。

早在1927年，斯德哥尔摩市政部门就决定对市区中心的老旧房屋和狭窄街道进行改造重建，然而直到二战后，这项庞大而昂贵的计划才付诸实施。他们在南北和东西向规划了两条新的交通干道，相交于市中心一块巨大的矩形空地。在确定空地上环岛的形状时，瑞典建筑师们却遇到了意想不到的难题。环岛的功能需求对其造型产生了交通和美学的要求：必须足够光滑以适合机动车行驶；能够适当缩放，确保可以产生类似同心的造型，还要求与矩形地块完美融合。1959年，斯德哥尔摩城市规划部门发起对赛格尔广场环岛设计的公开招标，丹麦数学家、发明家、作家和艺术家皮亚特·海恩 (Piet Hein，1905-1996) 以超椭圆的方案竞标成功。

海恩是一位生活在现代社会的文艺复兴式全才，在斯堪的纳维亚半岛广为人知。他曾先后在哥本哈根大学及丹麦科技大学学习哲学和理论物理学，又前往斯德哥尔摩的私人艺术学校和皇家美术学院深造。海恩与20世纪的几位世界上最杰出的思想家和科学家都有过近距离接触：他跟随波尔工作多年，经常"在头脑中与波耳打乒乓球"；他曾前往普林斯顿高研院朝圣，与爱因斯坦一起喝茶并请教理论物理问题，爱因斯坦对他说过："想象力比知识更重要"；美国著名应用数学家、控制论先驱维纳 (Norbert Wiener) 是他的好友，在海恩家中居住时维纳完成了自己最后一本著作《上帝与魔像》(God and Golem)，在某种宗教背景下介绍了他关于机器学习以及机器在社会中的位置的观点，并将该书题赠海恩。

1940年德军占领丹麦后，海恩参加了丹麦抵抗运动，而他最早也是最熟悉的武器就是手中的笔。海恩以Kumbel (意为"墓碑") 为笔名，创造了一种被称为Grook的新型格言诗体。这些诗歌语言简洁精确，节奏韵律复杂，充满哲理和悖论，并具有讽刺意味。海恩将反抗纳粹的密码深藏在诗歌的字里行间，在瞒过德国占领者的审查之后传遍全丹麦。1940-1963年间，海恩用丹麦文和英文撰写了上万首格言诗，出版了20本诗集，还被翻译成多种不同语言。这些格言诗可以看作一种精神上的即兴表演，用以驱逐不平静的时代带给人们的虚无或焦虑感，深受读者欢迎。一个重要特征是诗歌总是伴随着插画，作为对文字的补充。左图为1983年海恩摄于哥本哈根的安徒生雕像前，右图为一本诗集的封面。

超椭圆 (superellipse) 又称拉梅曲线 (Lamé curve)，是介于椭圆和矩形之间的一种图形。它的直角坐标表达式是由法国数学家加布里埃尔·拉梅 (Gabriel Lamé，1795-1870) 将椭圆方程式拓展而得，即

方程式中、、均为正实数，、表示曲线两个半轴的长度。当时为椭圆，的超椭圆称为次椭圆 (hypoellipse)，的超椭圆称为过椭圆 (hyperellipse)。当时，超椭圆是以为指数的勒贝格积分空间的单位圆。

当时，曲线类似于曲边四角星，四周曲线向内凹；当趋于0 时，曲线无限接近于两条坐标轴；当时，曲线为菱形；当时，曲线被海恩称为半椭圆，四周曲线向外凸，越接近顶点曲率越大并趋于无穷。过椭圆看上去就像四角为圆角的矩形，且的过椭圆也称为"方圆形" (Squircle)。当趋于无穷时，曲线无限接近于矩形。1952年，德国字体设计师Hermann Zapf在设计Melior字体时，曾使用超椭圆作为字母 o 的外形。在赛格尔广场的设计中，海恩充分发挥了自己数学和艺术的综合想象力、幽默感以及创造性的思维技巧。他的方案是一个、的超椭圆，这条简单又赏心悦目的闭曲线融合了椭圆和矩形之美，给出了在交通技术和美学上令人满意的解决方案。

文明社会无时不处在直角和圆形这两种古老形状的微妙冲突之中，或者更广义的——矩形和椭圆的冲突和互补之中。海恩是这样描述的："整个人类文明进程中有两种不同取向：一种是直线及矩形模式、另一种则趋向圆弧线。二种取向都有其力学及心理上的原因，前者节省空间、后者便于移动。但我们常常会陷入两难的困境，此时往往是介于二者之间的东西更合适。随意绘制的作品——例如从前在斯德哥尔摩出现过的环岛——无法达到这一要求，它并不像圆形或方形那样确定，在美感上有所不足。超椭圆解决了这一问题，它非圆非方，介于圆形和矩形之间，是一个具有固定形状和明确定义的整体。" 海恩还写道："超椭圆具有与圆和椭圆相同的令人信服的统一性，既不那么明显，也没有那么平庸。超椭圆不仅是一种新时尚，它还摆脱了一次和二次简单曲线——直线和圆锥曲线的束缚。"

二战结束后的欧洲是一个百废待兴、欣欣向荣的时代，海恩的超椭圆设计应运而生，成为斯堪的纳维亚现代建筑的标志，而赛格尔广场则成为世上最大的超椭圆，为斯德哥尔摩带来一种不同寻常的数学特色。塞格尔广场的规划、建造和命名是一个漫长的过程，用了32年时间规划、7年时间建造，1961年根据20世纪瑞典最重要的民谣歌手Evert Taube的提议命名。广场中心的玻璃方尖碑是瑞典艺术家Edvin Öhrström的作品。这座重达130吨的钢制骨架方尖碑由六万多块玻璃棱镜组成，在内部不同颜色灯光的照射下挺拔优雅。广场西部今年还增加了一个色彩亮丽的临时户外电影院，是由艺术家Fredrik Paulsen设计的。他将屋顶作为画布，并按疫情要求将影院分成五个小隔间。在十月初诺贝尔奖官宣期间，每天24小时循环播放由受到前和平奖得主启发拍摄的五部短记录片，图片为笔者所摄。

超椭圆是海恩设计中不断出现的母题，他貌似偏爱的超椭圆。海恩与瑞典著名建筑师和家具设计师布鲁诺·马松 (Bruno Mathsson) 联手，将超椭圆的理念用于家具、餐具、杯垫、灯具、银器、纺织品图案等。左上图是1964年二人合作设计的"超椭圆桌"，用镀铬钢杆制成的自夹桌腿是他们的另一项发明，兼具轻巧和稳定的特征，其科幻与理性的气质与超椭圆的敦厚和柔软相映成趣。马松认为桌面也有类似于塞格尔广场的"交通问题"，超椭圆等设计已经成为他 "梦寐以求的最激动人心的冒险之一"。1968年在关于结束越战的《巴黎协定》谈判中，外交官们因不满意谈判桌的外形而争吵不休，美国应用数学家Michel Balinski等人在一封寄给纽约时报的信件中建议在谈判中使用黄金比率的超椭圆桌。

海恩还将超椭圆以长轴为旋转轴制成 "超级蛋" (super-egg)，并设计了诸多超级蛋造型的餐具和灯具。这种旋转超椭球具有怪异的稳定性，可以独自稳固地站立在平面上。多年来坊间流传着一个"哥伦布立鸡蛋"的故事，而海恩却在其发现美洲新大陆400多年之后，用数学方法制作出了一个能立起来的超级蛋。右上图是1995年在丹麦小城Farum设立的超级蛋雕塑，位于海恩亲自设计的迷宫花园中央。1988年海恩又设计了一个方中套圆的造型，左下图这个重达5吨的雕塑The Cube直到他去世12年后的2008年才落成。右下图是21世纪欧洲新兴的跨国英文数字新闻出版商The Local的商标，其橙色超椭圆的参数与塞格尔广场的完全相同，因此可视为一个小号的塞格尔广场。近年来，iOS移动操作系统还将超椭圆曲线用于应用程序图标，代替了版本6及之前使用的圆角样式。

海恩的另一大成就是发明设计了多种数学智力游戏，可谓"游戏人生"。1933年海恩听了海森堡一次著名的量子力学演讲，针对演讲中提到的如何把空间切割成立方体的问题，他发明了智力游戏索马立方 (Soma cube)，这是由一个三立方体和六个四立方体组成的

塞格尔广场与海恩的超椭圆设计

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