断点回归中远离断点的处理效应估计

正文

断点回归（RD）在是估计处理效应的常用方法。而众所周知的是，RD设计只能估计断点附近的处理效应，而远离断点处的处理效应是不能得到识别的。

然而在一些应用中，虽然有外生的断点可以让我们使用断点回归估计处理效应，然而很多时候我们更关心远离断点处的处理效应，或者平均处理效应（ATE）的大小。

Angrist 和 Rokkanen最近在JASA上的文章《Wanna Get Away? Regression Discontinuity Estimation of Exam School Effects Away From the Cutoff》讨论了在什么情况下，我们可以得到远离断点处的处理效应的估计的问题。

作者通过一个波士顿地区「考试入学」学校是否能提高学生成绩作为例子讨论了这一问题。在波士顿地区有三所考试入学的学校（7-12年级），分别为Boston Latin School (BLS)、Boston Latin Academy (BLA)、O’Bryant High School of Mathematics and Science (O’Bryant)。问题是，通过考试选拔出来加入这些考试入学的学校，真的能够提高学生的成绩么？

在之前的研究（Abdulkadiroglu, Angrist, and Pathak, 2014）中，作者并没有发现十分强有力的证据证明在断点处学生的成绩（用10年级的数学、英语(English Language Arts)成绩度量）有所提高，如下图所示：

（只截取了作者提供的7年级申请入学的图，另有9年级申请入学的结果，横坐标为标准化之后的）

从图上看到，无论是加入O'Bryant还是BLS，似乎对10年级的成绩并没有太大的影响，如果有，O'Bryant对ELA的成绩可能有正的影响。作者的断点回归分析也佐证了这一点：

然而作者提出，很多时候大家并不关心在断点处学生的处理效应，因为那些在断点处的学生可能本来能够从好的学校收获的就不多。作者提出的问题是，如果一个学生本来不能去O'Bryant，他如果去了O'Bryant，成绩会不会有显著提高？以及如果一个能去BLS的学生，只去了一般学校会不会成绩有所降低？也就是说，对于O'Bryant，断点左边的学生的平均处理效应是多少，对于BLS，断点右边的平均处理效应是多少？

为了识别以上的两个处理效应，作者做了一些假设。如果计这几所学校的offer为：

其中r为标准化的测试分数，只有分数高于0才被录取。接下来，作者做了两个假设，首先是条件独立假设（CIA）：

也就是说，在控制了一些外生变量x之后，入学考试分数（running variable）对于潜在的结果（10年级成绩）没有任何影响。这个条件是比较强的，幸运的是，这个假设是可以检验的。

另外一个假设则是比较常见的common support假设：

有了CIA假设之后，识别可以通过以下公式得到：

背后的道理是，如果CIA假设成立，而D是完全依赖于running variable r的，因为CIA假设了给定x潜在的结果并不会被r所影响，那么只要知道了未处理组的x与y的关系，这个关系对于处理组也同样适用，就可以通过处理组的x来还原处理组的Y_0，从而得到识别。

所以识别的关键是CIA是否成立？作者提出这个假设是可以被检验的。如何检验呢？CIA意味着如下式子成立：

因而只要检验，对于处理组（非处理组），在控制了x之后，r对Y没有影响（不显著）就可以了。对于作者提出的例子，作者做了一个检验，作者选取了一些学生的人口特征，以及学生在4年级（对于7年级申请者）的成绩、7年级和8年级的成绩（对于9年级的申请者）作为x。也就是说，作者假设在控制了这些学生的人口特征以及之前成绩的情况下，入学考试的成绩对潜在结果没有影响，并做了检验：

可以看到，CIA在9年级申请入学的样本中更可能成立。

那么在CIA成立的条件下，如何进行估计呢？作者提出了两种方法，一种是参数方法，即首先对两组分别估计：

其中x可以包含高阶项等，尽量使用比较flexible的函数形式，然后就可以带入x计算counterfacturals了。

另外，OLS能做的事情，PSM当然也可以做。作者也提出了PSM版本，这里不再赘述了。作者使用这两种方法，分别回答了以上提出的两个问题：

也就是说，如果一个学生没有资格去O'Bryant，一旦去了，在数学和ELA上都有可能有显著的分数提高；而对于去了BLS的学生，如果去一般的学习，似乎成绩也不会有太显著的差别。

最后，作者还讨论了Fuzzy RD下的CIA模型怎么做，这里也不再赘述了。

这个方法的关键是找到一些x使得CIA条件成立（在Fuzzy RD中CIA条件更强一些，也多一些），也就是找到一些x使得running variable对潜在的结果没有影响。在实际应用中，如果项目中的外生变量可以通过CIA的检验，这就大大扩展了RD设计的可用性，而且实行起来非常简单，简单的OLS或者PSM就可以做到，是不是很酷炫呢？