我是伊藤。大学毕业后，我其实先在大藏省工作了一年，之后在内阁统计局工作了四年。在此期间，我参与了一些与保险相关的工作，因此成了精算师协会的预备会员。那时作为概率论的基础，柯尔莫哥洛夫的测度论基础上的概率论盛极一时，大概在1939 年左右，我也在精算师协会介绍过这一理论。五十年后的今天，能再次获得演讲的机会，我深刻感受到了与精算师协会的不解之缘。
首先，我想先讲一讲数学究竟是一门怎样的学问。关于数学与物理学的区别，著名数学家赫尔曼·外尔曾说：“物理是一门研究存在的学问，而数学则是一门研究万物存在形式的学问。”我认为这句话中的物理，也可以指代化学、生物学、经济学等数学以外的学科。
我以浅显的方式解释一下外尔先生所讲的这句话吧。我们经常接受问卷调查，调查问卷上会设有姓名、住址、出生日期、职业、兴趣等项目。我们称它为调查问卷的格式。我们可以把这个格式看作数学，把被调查者在问卷上填写的内容看作物理学。这里或许将物理学换作实验物理学更为合适。数学物理、数理生物学、保险数学、数理经济学等，广义上都可以算进数学的范畴。
前面我也说过，数学是一种形式，或许也可以说是一种模式。要说具体是哪种模式，我认为是逻辑模式。更确切地说，是集合论。关于这一点，我将在后面说明。
但是，如果将数学从逻辑的角度看作集合论，那我们只能触及数学的皮与骨，无法将数学的血肉一并概括进去。事实上，数学是伴随着人类的进步不断发展的“生物”，数学的实体便潜藏在这发展之中。因此，我们先来总览一下数学的发展历史吧。
根据历史年表，日本从旧石器时代起，经历了绳文、弥生、古坟、奈良、平安等时代，直至现在的平成。中国则经历了夏、商、周、秦、汉、隋、唐、宋等朝代。印度从达罗毗荼文明发展到印度文明，西方则从古埃及文明、美索不达米亚文明、古希腊文明、古罗马文明、阿拉伯文明等发展至现代的欧美诸国。
人类历史上初次诞生的数学概念是自然数A1、2、3……这些数字的英文是one、two、three、four、five、six、seven等，其中 two 和 three 都以字母 t 开头，four 和 five 以字母 f 开头，six 和seven 以字母 s 开头。即使在这些原始的数学概念中，我们也能找到这种不知该说是规则还是逻辑的规律。日语的数词中也蕴藏着与此全然不同的有趣规则。1（hi）和 2（hu）均以 hB开头，3（mi）和 6（mu）均以 m 开头，4（yo）和 8（ya）均以 y 开头。能够看出，每一组首字母相同的数字的比值都是 1 比 2。使用这种数词的民族极为罕见。据我所知，仅太平洋的某岛有相似的情形。但是，给所有的数字逐一命名委实太过烦琐，因此有了十进制。在十进制诞生之前，美索不达米亚文明还存在着二十进制、十二进制、六十进制等现在被归为计时法、度量衡等的计数方法。十进制虽然在中国已有悠久的历史，但它是由阿拉伯人传入欧洲的。
阿拉伯人发明了进位计数制。古代中国虽然使用了十进制，但在书写的时候并没有进位，在表示 151 103 这样的数字时，会将其写成十五万一千一百零三。也就是说，除一到九的基数外，还必须使用十、百、千、万等。若想表示更大的数字，还需要用到亿、兆、京等表示更大数目的词，可谓无穷无尽。若使用进位计数制，只需用阿拉伯数字的 151103 表示即可，简明易懂。这时需要在 1, 2, 3, …, 9 中加入 0 作为基数，这个数字 0 可以说是一大发明。虽然 0 最先出现在印度，但将其应用在进位计数制中使十进制家喻户晓的是阿拉伯人。
在阿拉伯的计数制出现很久之前的古埃及文明与美索不达米亚文明中，由于日常生活的需要，诞生了实用数学，用来解决初等算术问题、代数问题和几何问题。从采集经济的时代发展到游牧、农耕时代后，这类实用数学不断发展，可以用来解决天体观测、土地测量、粮食保存计划等问题。在中国，数学也是以同样的方式产生的。
进入古希腊时代后，数学才作为一个超越了实用意义的学科体系建立起来，人们开始尝试以论证的精神构筑数学这门学科。其中典型的成果便是欧几里得的《几何原本》。在欧几里得生活的时代（公元前 300 年左右），人们已经了解了勾股定理、相似图形、比例理论和其他几何学知识，应该也在一定程度上思考了这些知识之间的联系。欧几里得就构成平面图形的基本元素，也就是点和直线进行了思考，并尝试从“过两点有且只有一条直线”“两条直线要么平行要么相交”这种无须证明的性质出发推导出图形所有的性质。这是最初被体系化的数学，也标志着数学成为一门学科。现代数学依然沿袭着欧几里得的精神。
至于这门伟大的学科为何诞生在古希腊，我一直觉得不可思议，至今也没有找到答案。在欧几里得的时代，古希腊的哲学兴盛异常，注重理性思考，对任何事都讲究追根溯源，试图从本源出发解释其他事物。另外，智者十分活跃，经常相互争论，因此形成了从逻辑角度出发去思考事物的习惯。
同一时期的中国正处于以孔子为代表的春秋时代。当时百家争鸣，成为之后中国学问的本源。尽管重视智慧的思想在东西方形成了统一，但以论证为基础的数学最终没能在中国形成。
在这之后的古罗马时代，罗马人拟定了法律，铸造了货币，在政治和经济方面飞速发展，但在数学上几乎没有什么成就。阿拉伯人通过经商发展出十进制，为东西方的文化交流做出巨大贡献。但是，他们将欧几里得的以论证为基础的数学精神抛诸脑后，数学沦为了贵族子弟接受教育的必修科目。
除了几何学，古希腊人还就数论中的质数和无理数进行了深入思考，但令人不解的是，他们没能想到对实际生活有巨大帮助的十进制。其中缘由恐怕在于数学只有学者才去研究，而他们并没有着眼于实际生活中出现的新的数学事实。即使有关注的想法，在没有工业的农耕社会，我认为也找不到可以给数学家灵感的素材。
