灵机一动 | 第305期 还原正方形

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

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◎题友 @邓晋荣 的解答：

z=x²-y²=(x+y)(x-y)，x+y与x-y同奇偶 显然所有大于1的奇数符合条件 所有大于4的4的倍数可以分解为2乘以一个大于2的倍数，符合条件 对于不是4的倍数的偶数，必然分解为一奇一偶相乘，不符合 因此，除了1,2,3,4外，每四个数就有三个智慧数，(2017-1)÷3=672，所以答案为(672+1)×4=2692

◎题友 @黄河 的解答：

关于证明“智慧数只能表示为2k+1或4k的形式，k为正整数”，可以更简单点： ①由于2k+1=(k+1)²-k²，所以所有大于1的奇数都是智慧数； ②由于4k=(k+1)²-(k-1)²，所以所有大于4的4的倍数都是智慧数； ③对所有正整数n，由于(n+1)²-n²=2n+1>2，所以所有n²+2都不是完全平方数，即两个完全平方数之差(即智慧数)不可能是被4除余2的偶数。

◎题友 @Lin-匯丰 的解答：

第2017个智慧数是2692。 由题意得：z=(x+y)(x-y)，令a=x+y，b=x-y，则有z=ab，其中a和b奇偶性相同，且a≠b。 首先考虑奇数，不妨取b=1，a=2k+1(k是任意正整数)，则所有大于等于3的奇数都满足z； 接着考虑偶数，取b=2，a=2k(k是大于1的正整数)，则所有大于等于8的4的倍数都满足z。 综上，将正整数按4个数为一组划分，第一组只有3一个智慧数，从第二组开始每组都有3个智慧数（4k-3,4k-1,4k），又(2017-1)÷3=672，故第2017个智慧数为第673组的最后一个数：4×673=2692。