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问题是数学的心脏

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2021-04-08 08:53

正文

作者 | 熊斌

来源 | 科学出版社数学教育，节选自《数学解题策略与方法》前言部分。

作者简介

熊斌，华东师范大学数学科学学院教授、博士生导师，上海市核心数学与实践重点实验室主任，主要从事数学方法论、数学普及与应用、数学解题理论、数学教育与资优生的发现和培养方面的教学与研究，担任过10届国际数学奥林匹克中国队领队、主教练，2018年获得国际数学Paul Erdos奖，曾获得上海市科技进步三等奖、上海市五一劳动奖章、上海市教书育人楷模，享受国务院特殊津贴，多次参与中国数学奥林匹克、全国高中数学联赛、全国初中数学竞赛、中国西部数学奥林匹克、中国女子数学奥林匹克、国际城市青少年数学邀请赛等竞赛的命题工作，在国内外发表有关数学、数学教育和数学普及方面的论文100余篇，主编和编著的著作150多本。

数学家哈尔莫斯（ P. Halmos ）曾说，“问题是数学的心脏”．解决数学问题，既是数学家的基本活动，也是学校数学教育的基本构成．在学校数学教育中，解题活动对于掌握知识技能、提升思维能力、激发数学兴趣、开阔数学视野及培养创造精神等方面具有广泛的意义．数学家与数学教育家波利亚（ G. Polya ）认为，“中学数学教学首要的任务就是加强解题的训练”，其中所指的数学问题“不仅仅是常规的，还包括那些要求有某种程度独立见解、判断力、能动性和创造精神的问题”。

在中学数学范围内，有一大批富于挑战、饶有趣味的问题出自于国内外各级各类数学竞赛及相关活动中．这为学有余力、有志于发展数学才能的中学生提供了大量的课外资源，也为关注数学解题的教学工作者提供了丰富的研究素材，从而可以促进解题的教与学，成为常规课堂教学的有益补充。

作者在为师范高校数学教育专业讲授多年数学竞赛解题原理课程的同时，积累了多方面的教学经验和一批适合讲授的材料．作者同时了解到，不少学生出于提升自身数学学识和解题水平的需要，对数学竞赛问题有兴趣，但当他们试图系统地学习竞赛内容时，常常会感到，相比知识基础的扩充，更困难的是适应竞赛问题的思维特点．实际上，数学解题作为一种复杂的心理活动，其影响因素是多种多样的．就解题者的认知层面而言，为了在不熟悉的或非常规的问题上取得进展，除了必备的知识以外，往往还需要掌握一定的解题策略与方法。然而其中相当一部分的策略与方法，很少能依托常规教学内容而充分展现，解题者也不易在脱离提示的情况下通过阅读竞赛题的解答而自发地关注到它们。因此，作者一直希望创作一本适合数学教育专业学生学习的，侧重于介绍解题策略与方法的教材或专题读物．在撰写本书时，作者考虑到以下三点：

其一，全书设计为“策略篇”与“方法篇”两部分，以增加读者对数学解题的立体感受．严格来说，解题的“策略”与“方法”是很难明确区分的．在本书中，“策略”是指一些对解题富有启发性的、典型有用的思维法则，介绍时更侧重于其思维形态；而“方法”则是指一些解决问题的具体方式、手段和途径，介绍时更侧重于其数学形态．例如，策略篇中介绍“考虑特殊情形”，其中有些问题需要借助数学归纳法达到“从特殊通向一般”的目的，但侧重描述的是如何通过特殊情形猜测答案、形成解题思路，再归纳地解决一般情形的合理思维过程．相比之下，方法篇中的“数学归纳法”则相对更侧重方法本身及其各种变式与技巧的具体展示。

其二，不追求全面，而是选择一些最为常用的、有特色的、有思想性的主题，尽可能以较为精炼的例题、较少的篇幅，使读者充分感受数学竞赛问题求解的特点与魅力．在挑选与组织材料时，注意各章节篇幅的相对匀称，并兼顾初等代数、平面几何、初等数论、组合数学等具体领域中的特色方法，为师范院校相关课程的教学内容安排提供灵活的选择。

其三，放低起点，不过于追求竞技难度（当然书中也有少量的竞赛难题），选材及讲解尽可能回避过于专门的知识背景，突出解题策略与解题方法，以“授人以渔”为目的，适合数学教育专业的学生以及对数学竞赛有兴趣但暂时了解不多的读者．就目前而言，中学数学常规教学的参考资料，以及中学数学竞赛方面的高难度书籍与训练资料，都是足够多的．作者希望本书定位于上述两者之间，能提供给读者以更多的选择与更好的衔接。

对于本书的使用，作者有如下建议：

首先，对于书中的问题，建议读者先自己尝试求解，再参看解答和注释．对于貌似会做的题，切忌只看不做，眼高手低．对于没有思路的题，可以直接学习解答，也可以先阅读几行作为提示，继续思考一番之后再看后面的内容．正如波利亚所说，解题是一种实践性的技能，“你想学会游泳，你就必须下水；你想成为解题能手，你就必须去解题”．对于解题新手而言，首先要做的是观察和模仿别人在解题时的做法，最后通过解题学会解题．当然，在打好基本功之后，可以做一些更有挑战性的问题，循序渐进地提升自己的解题能力。

其次，对于书中所介绍的策略与方法，建议结合平时的解题实践，逐步了解其“优缺点”的属性，以及自身是否善于运用之，从而提升解题的实战经验．例如，可以通过对一批几何问题尝试多种计算类解法，深层次地体会复数法、解析法、三角法、向量法等在解决平面几何问题中各自的优势与局限性。

此外，对于书中的各个章节，希望读者能关注它们之间的联系，以及它们与更广泛的数学内容之间的联系．解题策略与方法的运用，常常是多样化与综合性的．读者可以随时思考类似于这样的问题：在这一章节中所介绍的某个问题，还综合体现了哪一章节中的策略或方法，还有其他更多的解法吗？某一策略或方法，在小学数学中有怎样的体现，在大学数学中又有哪些运用的实例？

最后，还建议有兴趣的读者就书中介绍的这些解题策略与方法进一步地发散思考与探究，尝试问题创作．作者相信，在对已有问题进行改编、甚至尝试提出原创性更高的相关问题的过程中，读者可以获得更高层次的思维历练，形成更深刻的理解和感悟。

以上这些建议，可以对等地“翻译”为数学教育专业课程的教学建议。

本书的两位作者具有多年的国家级与省市级数学竞赛命题工作经历，期间积累了许多原创问题，也一并积累了不少来自专家及参赛选手的优秀解答，作为本书撰写的素材来源．作者还参阅了包括历年国内外数学竞赛试题在内的众多文献资料，尽可能挑选那些能贴切反映主题的素材．在许多情况下，作者对原问题进行改编，或是针对性地创作一些问题，以满足凸显主题、调整难度、优化呈现方式等行文需要，再进行细致的解答和评论。

《数学解题策略与方法》

作者：熊斌何忆捷

出版社：科学出版社

出版时间：2021-03

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问题是数学的心脏

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