你不知道的按位运算

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来源：伯乐在线专栏作者 - selfboot

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先来看LeetCode上的Divide Two Integers题目要求：

Divide two integers without using multiplication, division and mod operator.

就是说不用乘法，除法，求模运算来实现两个整数相除，看起来很简单，我可以用除数减去被除数，直到除数小于被除数，记录减法操作的次数即可。假设是计算m/n，那么时间复杂度为O(m/n)。用Python实现后，Time Limit Exceeded。我们考虑有没有更加优化的算法呢？

如果很难想得到，那就先来回忆下二进制数按位运算的一些知识。

二进制数按位运算

计算机里面所有数据都存储为0，1串，所有的运算归根到底都转为二进制数的运算。相信大家都知道二进制数按位运算的规则：

来看一些简单的例子：

1010 & 1100 = 1000

1010 | 1100 = 1110

1010 ^ 1100 = 0110

1010 << 2 = 101000

1010 >> 2 = 10

~ 1010 = 0101

单纯的二进制位之间的这些运算相当简单，但对我们实际编程并没有直接帮助，因为编程过程中需要的经常是数字间的运算，比如 5*(2^4) 。真的是这样吗？接着往下看！

计算机中数字的存储方式

我们都知道计算机中万物皆为0、1，将万物变为0、1的过程叫做编码，这里我们只讨论将数字编码为0、1的过程。

计算机中对数字的表示有三种方式：原码，反码，补码：

• 原码表示法在数值前面增加了一位符号位（即最高位为符号位）：正数该位为0，负数该位为1。比如十进制3如果用8个二进制位来表示就是 00000011， -3就是 10000011。

• 反码表示方法：正数的反码是其本身；负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

• 补码表示方法：正数的补码是其本身；负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。 (即在反码的基础上+1)

原码容易被人脑直接识别并用于计算，但是对于计算机来说并不友好。所以在计算机系统中，数值一律用补码来表示、运算和存储。使用补码，可以将符号位和数值域统一处理，将加法和减法统一处理。此外，补码与原码相互转换，其运算过程是相同的，不需要额外的硬件电路。详细的解释可以参考原码, 反码, 补码详解（http://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/computercode.html）。

数字的按位运算

计算机中数字存储为补码形式，各个数之间的运算也是对它们的补码做运算，而且得到的结果也是补码，如下图：

数字的按位运算

计算机中数字存储为补码形式，各个数之间的运算也是对它们的补码做运算，而且得到的结果也是补码，如下图：

各种编程语言都提供了对补码的二进制位直接进行运算的方法。以Python为例：

>>> 0b1010 & 0b1100

8 # 1000

>>> 0b1010 | 0b1100

14 # 1110

>>> 0b1010 ^ 0b1100

6 # 0110

>>> 0b1010 << 2

40 # 101000

>>> 0b1010 >> 2

2 # 10

>>> ~ 0b1010

- 11 # 10000000 00000000 00000000 00001011

>>> type(0b1010)

'int' >

上面0b开头的0、1串表示整型数字，在32位操作系统中，Python中int类型一般占32个二进制位，以最后一个求反运算为例子，1010的补码为

00000000 00000000 00000000 00001010

求反操作后为：

11111111 11111111 11111111 11110101

即为-11(原码为：10000000 00000000 00000000 00001011)的补码。（对一个数的补码求补码即可得到该数的原码）

另辟蹊径的按位运算

那么按位运算在实际编程中可以扮演哪些角色呢？简单点地，可以用来判断奇、偶数：num & 0x1，或者对一个数变换符号：~num + 1；复杂点的可以用来交换两个数，求绝对值等等。

> 不用额外的变量实现两个数字互换。

def swap ( num_1 , num_2 ) :

num_1 ^= num_2

num_2 ^= num_1

num_1 ^= num_2

return num_1 , num_2

证明很简单，我们只需要明白异或运算满足下面规律：

• 0^a = a;

• a^a = 0;

• a^b^c = a^c^b;

巧妙运用异或可以高效解决很多问题，比如 找出数组中只出现了一次的数（除了一个数只出现一次外，其他数都是出现两次），以及它的升级版：数组中只出现1次的两个数字(百度面试题)。