5. 在这个世界中的接触：麦迪
现在，我转向通过否定 (2) 来解决柏拉图主义的认识论问题的尝试。这种观点仍然认为人类能够通过与数学对象接触，即从中接收信息，从而获得这些对象的知识。但现在的策略不是将人类提升到“柏拉图的天堂”，而是将“柏拉图的天堂”的居民带到地球上。更少比喻性地说，这种方法试图采用数学对象的自然主义概念，并主张人类可以通过感官感知获得这些对象的知识。这个观点最重要的支持者是佩内洛普·麦迪（Penelope Maddy）（或者更确切地说，是早期的麦迪，因为她后来放弃了这一观点）。她写道：
我打算拒绝传统柏拉图主义对数学对象的描述……[并]将它们带入我们所知的世界，与我们熟悉的认知能力接触。
麦迪主要考虑的是集合。因此，她的两个核心主张是：集合是时空定位的——例如，一组鸡蛋的位置就在鸡蛋所在的地方——并且集合是可感知的，即可以通过通常的方式看到、听到、闻到、触摸到和品尝到。
我将在此论证，这种被称为自然化柏拉图主义的观点并不可行。我不仅会论证麦迪的观点不可行，还会论证任何形式的自然化柏拉图主义都不可行。具体而言，即使我们承认 (2) 是错误的，并且集合确实存在于时空中，只要我们保留某种形式的柏拉图主义——我们将在 5.1 小节中看到自然化柏拉图主义者必须这样做——我们就无法主张人类从感知中接收到有关集合的任何相关信息，因此我们无法通过否定 (2) 来解决柏拉图主义的认识论问题。
在开始我的论证之前，我需要指出，麦迪并没有仅仅停留在“集合是可感知的”这一简单主张上。她花费了大量时间解释我们如何从对集合的感知发展到对集合论公理的知识。特别是，她解释了我们对集合的感知如何引发关于集合的数学直觉，以及这些直觉如何与实用性考虑相结合，从而促使我们接受采尔梅洛-弗兰克尔集合论（ZF）的公理。然而，我想指出的是，在贝纳塞拉夫（Benacerraf）问题的背景下，这一切都是无关紧要的，因为这一问题已经通过“数学对象是可感知的”这一简单主张得到了解决。当然，这一简单主张并不构成数学对象的完整认识论，但它确实消除了我们获得数学对象知识的可能性问题。因此，由于贝纳塞拉夫的论证旨在提出这种担忧，在我看来，这一简单的可感知性主张完全破坏了该论证。
正因为如此，我将完全忽略麦迪关于数学直觉的理论。也就是说，我承认，如果她关于集合可感知性的观点是正确的，那么即使她的整个直觉理论是错误的，她也已经成功解释了我们如何能够获得关于集合的知识：我们可以知道集合，因为我们可以看见它们。我将要做的是攻击她关于可感知性的最初主张。（不过，我应该指出，尽管我会忽略直觉的主题，但在论证结束时，我会简要说明为什么麦迪对实用性考虑的诉求无法解决她的观点所面临的问题。）
5.1 为什么自然化柏拉图主义者必须坚持柏拉图主义
有人可能会认为，麦迪（Maddy）根本就不是一个真正的柏拉图主义者。因为柏拉图主义通常被定义为对抽象对象的信仰，而在此语境中，“抽象”通常被认为与“非时空”同义，因此有初步理由将麦迪的观点归为反柏拉图主义的一种。我想，这里的观点是，将抽象对象引入时空中以实现柏拉图主义的自然化，就像将有神论自然化为把上帝当作林肯隧道一样。因此，根据这种观点，麦迪根本没有自然化柏拉图主义——她是彻底放弃了它。
有时，麦迪似乎也愿意接受这一点。例如，她写道：
“按照某些术语约定，这意味着集合不再算作‘抽象’。那又怎样？我对这个词语本身并不在意。”
当然，这种态度在某些情况下是可以接受的。关于某种观点是否属于某个学派或流派的争论通常并不重要；真正重要的是该观点本身是否正确。然而，在当前这个具体案例中，麦迪的观点是否属于柏拉图主义确实很重要。这有两个原因。第一个原因仅与我们当前试图回答贝纳塞拉夫问题的项目相关；也就是说，这与麦迪的观点本身是否正确无关。原因很简单：我们现在正在寻找解决柏拉图主义认识论问题的方法；因此，如果麦迪的观点是彻底的反柏拉图主义（即，如果没有任何有趣的“抽象”意义适用于麦迪的集合），那么她的观点对我们完全没有意义。我们目前试图确定的是，柏拉图主义者是否能够通过否定 (2) 来解决贝纳塞拉夫问题。因此，如果通过否定 (2) 我们实际上放弃了柏拉图主义，那么我们的问题答案就是“否”，我们可以继续探讨其他问题了。
当然，这一点与麦迪的观点本身是否正确无关。然而，还有第二个原因表明，麦迪的观点是否属于柏拉图主义是重要的，而这个原因与她的观点是否正确直接相关。原因很简单。如果麦迪支持彻底的反柏拉图主义，也就是说，如果她声称集合是普通的具体对象，那么她的观点将本质上等同于米尔（Mill）所持的集合是物质集合体的观点。然而，这种集合体理论（ATS）是站不住脚的，更重要的是，麦迪也知道它站不住脚。她援引弗雷格（Frege）的观点，认为集合不可能是单纯的物质集合体，因为虽然一个集合有确定数量的成员，但一个物质集合体并没有。例如，如果一个盒子里有三个鸡蛋，那么 3 是唯一适用于该鸡蛋集合的数字，但鸡蛋物质的集合体包括“三个鸡蛋、更多的分子，甚至更多的原子”。
另一个关于集合体理论的问题（麦迪没有提到）是，它无法区分包含这三个鸡蛋的集合和包含这个集合的集合。根据集合体理论，这两个集合与相同的鸡蛋物质集合体是相同的，因此它们彼此也是相同的。更一般地说，集合体理论的支持者——至少是那种纯粹的反柏拉图主义版本，即主张所有集合都是物质集合体的版本——无法接受高阶集合的存在，因此也无法保留分层集合理论（如 ZF 集合论）的真实性。
自然化柏拉图主义者避免集合体理论的唯一方法是坚持以下观点：虽然集合不是传统意义上的抽象（即不在时空之外存在），但它们在某种非传统意义上仍然是抽象的。自然化柏拉图主义者需要坚持，每个物质集合体都与无限多个集合相关联。例如，鸡蛋物质的集合体与原子集合、鸡蛋集合、包含鸡蛋集合的集合、包含包含鸡蛋集合的集合的集合、包含这两个单元素集合的二元组，等等相关联。然而，这些所有的集合都由完全相同的物质组成，并且具有完全相同的时空位置。因此，为了维持这些集合确实彼此不同——以及与最初的物质集合体不同——自然化柏拉图主义者必须声称，它们在非物理方面存在差异，因此它们具有某种非物理或抽象的属性。
另一种理解这一点的方法是记住，麦迪自然化计划的核心目标是避免贝纳塞拉夫困境的认识论困境。然而，如果在自然化的过程中，麦迪完全倒向了彻底的反柏拉图主义，也就是集合体理论（ATS），那么她只是换了阵营，却直接走向了困境的语义角。正如我们已经看到的，如果她采取这种观点，她将无法在集合论层次结构的起点站稳脚跟，因此无法维护分层集合论（如 ZF 集合论）的真实性。因此，如果麦迪的自然化计划希望产生一个可行的数学哲学，它必须被看作是试图在传统柏拉图主义和集合体理论的反柏拉图主义之间找到一个位置。换句话说，麦迪必须坚持，集合既不是传统意义上的抽象对象（即非时空对象），也不是普通的具体对象。也就是说，她必须坚持，尽管集合存在于时空中，但它们在某种非传统意义上仍然是抽象的。
我认为麦迪确实采取了这种立场。她声称，一个包含鸡蛋的单元素集合等同于“作为个体化事物的鸡蛋”。现在，她并没有说明这种观点如何扩展到二元组、三元组等，但可以推测，一个包含两个鸡蛋的集合可能等同于“作为个体化事物共同存在的两个鸡蛋”或类似的东西。因此，麦迪的观点是，集合与它们对应的物质集合体是不同的，因为它们具有不同的结构。然而，由于集合由与其集合体相同的物质构成，并且它们与这些集合体共享位置，这种结构上的差异必须是非物理的或抽象的差异。因此，可以合理地得出结论：麦迪的集合在某种非传统的意义上是抽象的。（或者用麦迪自己的术语来说，尽管在某些术语约定下，麦迪的集合不算作抽象的，但在其他术语约定下，它们是抽象的。）
然而，这种适用于麦迪集合的非传统抽象性在这里并不重要。因为我要论证的是，人类无法从任何一种自然化柏拉图主义集合中接收到相关的感知信息。换句话说，我将论证，只要集合在某种意义上是抽象的——更确切地说，只要它们的抽象性使得自然化柏拉图主义者能够避免集合体理论——人类就无法从它们那里接收到任何相关的感知数据。
