在这场数学运动中，笛卡儿的意义是双重的：他详细制定了一个关于物质宇宙数学结构和运作的完整假说，比前人更加清楚地意识到了新方法的重大含义；通过他那著名的形而上学二元论，他既试图为把人及其利益从自然中流放出去进行辩护，又试图对此作出弥补。
十几岁时，笛卡儿就迷上了数学研究，并为此逐渐放弃了所有其他兴趣。21岁那年，他已经掌握了当时已知的一切数学知识。在接下来的一两年里，他做了力学、流体静力学和光学的实验，并试图把数学知识扩展到这些领域中。他似乎对开普勒和伽利略的那些更加引人注目的成就产生了浓厚的兴趣，但并未受到其科学哲学细节的深刻影响。
1619年11月10日深夜，笛卡儿产生了一种非凡的体验，这种体验确证了他以前的思想倾向，赋予他毕生的工作以灵感和指导原则。
[1]我们只能把这种体验比作神秘主义者心醉神迷的觉悟，当时真理的天使向他显现，似乎通过附加的超自然洞察力证明了他心中不断加深的一个信念，即数学是解开自然之谜的唯一钥匙。
这一异象非常生动和有说服力，笛卡儿直到晚年还把那个精确日期称为标志他一生转折点的伟大的启示时刻。
第一节 数学作为知识的钥匙
在这次独特的体验之后，笛卡儿便开始在几何学领域进行紧张研究。短短几个月，他就极为成功地发明了一种非常富有成效的新数学工具——解析几何。这项伟大的发现不仅确证了他的异象，激励他沿着同一方向继续努力，而且对其一般意义上的物理学也非常重要。作为一种数学探索的工具，解析几何及其成功运用预设了数的领域（即算术和代数）与几何学领域（即空间）之间精确的一一对应。这两个领域业已被相互联系，这当然是整个数学科学的共同财产；而它们具有这种明确而绝对的对应关系，这才是笛卡儿的直觉。他发觉，空间或广延的本质使得空间关系无论多么复杂，都必定可以用代数公式来表达，反过来，数的真理（在某些幂次之内）也可以完全在空间上表达。这项著名的发明使笛卡儿不由得产生了更深的希望，即整个物理学领域也许都可以还原为纯粹的几何性质。无论自然界还可能是其他什么东西，它显然是一个几何世界，其对象是有广延、有形状的运动中的大小（magnitude）。如果我们能够去除所有其他性质，或者把它们还原为这些性质，那么数学显然就是揭示自然真理的唯一合适的钥匙。从希望到想法离得并不远。
在随后的10年中，除了广泛旅行，笛卡儿又作了进一步的数学研究。他在这一时期结束时写下了这些研究成果，还制定了一系列专门的规则来应用他那种非常引人入胜的思想。我们发现，这些规则表达了一种信念，即所有科学构成了一个有机统一体，[2]必须用一种普遍适用的方法对它们进行研究。[3]这种方法必定是数学方法，因为在任何一门科学中，我们所了解的一切就是它的现象中所表现出来的秩序和量度，而数学正是那种对秩序和度量进行一般处理的普遍科学。[4]正因如此，算术和几何才是使确定无疑的知识成为可能的科学。它们“处理的对象是如此单纯和纯粹，以至于根本无需作出任何因经验而变得不确定的假设，而只需理性地导出推论”。[5]这并不意味着数学对象是物理世界中不存在的虚构的东西。[6]如果有人否认纯粹数学对象的存在，他就必定要否认有任何几何事物存在，因此很难坚持说，我们的几何观念是从存在物中抽象出来的。当然，没有什么实体只有长度而无宽度，或者只有宽度而无厚度，因为几何图形并不是实体，而是实体的边界。要想让我们的几何观念从物理对象的世界中抽象出来，承认这是一个站得住脚的假说，那么世界就必须是一个几何世界——它的一个基本特征就是在空间中的广延性。也许最后能够证明，它的所有特征都能由广延这个基本特征推导出来。
