为什么随机游走的醉汉不会返回原点？

1905年，英国统计学家Pearson在《自然》杂志上公开求解随机游走问题（Random Walk Problem）：如果一个醉汉走路时每步的方向和大小完全随机，经过一段时间之后，在什么地方找到他的可能性最大？

图1 随机游走的醉汉

高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿（Galton）专门设计用来演示一维随机游走过程及正态分布现象的实验装置（图3）。

图3 高尔顿板随机游走实验

表明 一维简单随机游走 的方差与步数 成正比， 因此， 一维简单随机游走是一个类似于物理学布朗运动的扩散过程 。

方差是用来刻画随机变量偏离均值分散程度的数字特征，度量的是所有样本轨道（小球或醉汉）偏离均值的发散程度，因此， 表明，随着步数 的增加， 大量一维简单随机游走的小球或醉汉会远离原点 。

图4给出了大量一维简单随机游走醉汉的样本轨道仿真曲线，所有样本轨道在第 步时的位置 就是随机变量 在第 步时的状态， 服从 正态分布。从图中可以看出，对于其中任何一条样本轨道（醉汉），都随步数 的增加远离原点，与高尔顿板的实验结果相同 。

图4 一维简单随机游走样本轨道

Polya随机游走定理只证明了随机游走具有常返性（Recurrence)，即

常返性只表示随机变量 （醉汉集合）返回原点无穷多次的概率等于1，但不能说明一条样本轨道 （一个从原点出发的醉汉）最终一定会返回原点。

假设有无数个醉汉从原点出发，在第 步时，所有醉汉的位置服从 正态分布，因此，随机游走过程具有如下两个重要性质：

（1）随机游走是一个扩散过程，醉汉样本整体向远离原点的方向扩散；

（2）在原点始终可以看到醉汉，也就是说，在原点看到醉汉的概率等于1。

Polya只是利用概率计算方法证明了第二个性质，却得出了 所有从原点出发的醉汉最终会返回原点 的结论。

五、polya解题方法的错误分析

Pearson的随机游走问题是求解 一个醉汉 第 步时的位移 ，也就是一条样本轨道 随时间的演变性质，而非随机变量 =0的概率。

一个醉汉或一个机器甲虫的位移 只能被抽象为随机过程的一条样本轨道或一个样本函数，而非随机过程随机变量 。

Polya把求解一个醉汉第 步时的位移问题，转换为求解一个醉汉在第 步时返回原点的概率问题，无形中导致 研究对象发生错位 ，使研究对象从一条样本轨道（一个醉汉）改变为随机变量（大量醉汉的集合），必然会得出与事实不符的结论。

事实上， ， 为任意整数，表明 随机变量 可以到达任意整数点 （包含原点） ，这一结论从 的 概率密度函数 服从 正态分布 的角度很容易理解。

Polya导致研究对象错位的样本轨道研究方法被《随机过程》和《数理金融学》所传承。《随机过程》教科书在分析和推导随机游走、泊松跳跃和布朗运动等典型随机过程样本轨道性质时，均将样本轨道当作随机变量，并用描述随机变量空间统计特性的数字特征来刻画一条样本轨道随时间的演变规律，从而得出了一系列与事实不符的错误结论，《随机过程》教科书为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的样本轨道研究方法、理论及工具。

《数理金融学》将随时间变化的股票价格（相当于一个随机游走醉汉的位移）错误地抽象为随机变量，建立的几何布朗运动价格模型、BS期权定价公式和波动率参数不可能正确描述实际股票价格波动现象和波动程度，在实际应用时给金融市场带来了巨大的灾难。

国内外大量的实证研究已得出结论：BS期权定价公式是导致1987、1997和2007年三次重大金融危机的主要原因，科技部基础研究司编写的《中国基础研究发展报告》也明确指出：BS期权定价理论是造成历次重大金融危机的关键性原因。

Polya将样本轨道当作随机变量的研究方法导致《随机过程》和《数理金融学》陷入了严重的范式危机，《随机过程》和《数理金融学》学科的样本轨道研究方法将面临从随机变量到时间函数的重大范式变革。

六、随机游走位移公式

为独立同分布随机变量，即 的样本轨道 在不同时刻互不相关，因此 的时间自相关函数为

式中 为单位冲击序列。

根据维纳-辛钦定理，平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间构成一对傅里叶变换，因此 的功率谱密度为

表明 的功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，因此 为白噪声时间序列。

由前面一维随机游走随机变量 模型，可直接写出样本轨道 的模型

=

可将上式改写为

式中为 为 在区间 上的算数平均值，其物理意义为一维随机游走的质点（醉汉）在区间 上的平均速度。