台大数学系的六朵金花

数学爱好者俱乐部

本文原载于台湾《传记文学》第66卷第5期，1995年。原文标题《记几位中国的女数学家》。

2009年夏天“台湾大学数学月”活动中之“女数学家论坛”合影。从左至右：李莹英、李文卿、张圣容、腾楚莲、萧美琪、金芳蓉。

中国对于近代数学的研究起步较晚，第一个在国外获得数学博士学位的是胡明复先生，他于1916年获得哈佛大学博士。自此，70年来， 中国数学家人才辈出，成就辉煌。 本文拟报告若干位女数学家。她们都生于1950年前后，原籍大陆，在台湾成长，受小、中、大学教育，赴美接受高深的训练，现在都是知名的数学家。台湾在这短短的三四十年内产生了多位杰出的女数学家，我认为 是中国历史上的奇迹，当然也是中华民族的光荣。

究竞数学是什么? 数学家做些什么? 大致说来， 数学把自然现象抽象化，用逻辑推理获得结论。 因为对象和方法都简单，便成为一门有力和有用的学问。例如：从一条狗、两条狗、三条狗到1、2、3，从1、2、3到x、y、z便看出代数的力量。又如方程式

当然没有实数解。因为任意正或负的数的平方必然是正数。但是如果引进理想数，使它有解，便得复数。 复数在科学上的作用可大了。没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明！ 数学的伟大是难以想像的。

再举 欧几里得的《几何原本》 为例。这本伟大的书把空间的性质建在少数公理上，从公理出发，用逻辑推导，获得空间的几何性质。如三角形里三角的和等于180°的定理，或直角三角形的勾股弦定理(

)，都可有漂亮的几何证明。欧氏空间的推广，可以用到爱因斯坦的相对论和杨振宁-米尔斯的规范场论， 真是人类智慧的结晶。

我们欢迎以下各位来到这块充满奇迹的数学园地。这里所介绍的几位女数学家的资料，是她们自己提供的，由康润芳负责编写及结论。

省身 志

张圣容从小喜欢读书，尤好文学，但始终觉得 数学最简单明了 。1960年入台北二女中，印象中最深刻的，是在炎炎夏日中阅读中外名著小说，及反复斟酌解析三角题目，其乐无穷。到高三要决定大学方向时，正值 杨振宁先生 来台讲学，他说 “现在数学正呈放射性发展，为年轻人研究科学的最好方向” ，影响了她选择数学为大学第一志愿。1966年保送入台湾大学数学系。4年中受到谨严的教海，尤其和同班几位女同学互相切磋，彼此同游共进退，生活热闹愉快(刘小咏、胡守仁、李文卿、金芳蓉、吴徵眉、梁美，皆为同班同学)。

1970年到美国加州大学伯克利分校入数学研究所。伯克利名数学家云集，大开数学眼界。1973年和同学杨建平结婚，1974年得博士学位。其后，曾在纽约大学水牛城分校、马里兰大学及加大伯克利、洛杉矶分校任教。并在美国、中国大陆、台湾，及欧洲各数学研究所访问。1981年到加州大学洛杉矶分校长期任教至今。这些年来，1979年得斯隆奖，1986年曾应邀在4年一度的国际数学家大会上做报告。1989年到1991年曾任美国数学学会副会长。1995年得美国数学学会的萨特奖(女数学家杰出成就奖)。

在加州大学时，她的指导教授为多纳德·沙拉松（Donald Sarason）博士。论文的研究方面为调和分析。主题为引入当时实分析上重大突破的有关有界平均振荡函数的性质，去研究复变分析上的一些问题。 毕业后多年，仍持续此一研究方向。曾和马歇尔（Marshall）博士合解了复变上关于有界解析函数的道格拉斯问题。

1981年后，部分受到 杨建平 (几何学家)的影响，她的研究方向逐渐转到实分析在偏微分方程及几何上的应用。由于偏微分方程研究几何渊源根深，近年来更在 陈省身、丘成桐 等人提倡下，发扬成主流。她的研究方向是其中一小支。主要为：

（1）用索伯列夫嵌入定理中极值函数性质去研究几何上的山路问题及相关的何种函数可成为流形上的曲率山路函数的问题。

（2）有名的“听音辨鼓”问题(Can you Hear the Shape of A Drum?)。即是由鼓声可以猜出此鼓的大小、形状。此一问题可由各种角度研究。目前在研究紧流形上同一鼓声流形的紧致性。

除科研、教学外，她育有一男一女。生活上常觉得学海渊博，育儿任重，时间不够用。但 数学发展日新月异，身处学术界，常遇各方面睿智之士。 她在不断的学习成长中，觉得人生很丰富。回顾大学数学系前后女同学，有许多都在工作岗位上卓然有成。长江后浪逐前浪， 希望见到更多的中国女数学家进到此研究领域来。

小时家住台南郊区，父母唯恐当地小学不好，有碍升学，于是三番两次迁移户口，换学校，最后终于进了台南城里最好的永福国小。那时她每天早晨6时出门搭车上学，晩上8时回家。住处简陋，为了让她能安心做功课，不受蚊虫干扰，父亲别出心裁，在家里客厅的一角，用铁纱及木条围出一块笼状的“书房”，供她念书。亲友们戏称此笼为 “状元笼” 。在盐厂宿舍里传为佳话。

她初中进台南女中，此后直升高中，保送台大数学系。求学过程十分顺利。当初选择数学，颇令家长及老师失望。一来南台湾的风气崇尚学医，二来台大数学系既属冷门科学，又是出名的难念，声誉不是很好。而她却决定进数学系,一方面是为了兴趣，另一方面是自信不足。原来，当时物理系乃理学院最热门的科系，各方高手聚集之所。她自忖难以与人竟争，不如去个冷门系，慢慢修行。 孰料1966那年，台大数学系收了很多以第一志愿进来的高材生。这在该系是罕见的现象，也成为系里资深教授一直津津乐道之事。 她和这些人同窗四载，也深感幸运。1970年台大毕业后，留在母校念了一年研究生，1971年获加州大学伯克利分校奖学金赴美深造。1974年得数学博士学位。

加大毕业后，她在哈佛大学担任了三年半助理教授，然后去普林斯顿高等研究所做研究员半年。1978年秋在伊利诺斯大学芝加哥校区任助理教授。翌年转赴宾州州立大学任副教授。1984 年升正教授。这些年里，她曾多次在中、美、英、德、法、新加坡等国访问、开会、演讲，及做学术研究。1981年获斯隆奖，在1990～1993年期间曾任美国数学学会人权委员会委员。

她的研究工作是在 数论及离散数学方面 。毕业论文在加大安德鲁·欧格（Andrew Ogg）指导下，介绍了经典模型式同余子群的新型式及其判别法。到哈佛时，正值自守函数及群表示理论走红之际，受她的祖师爷塔特(John Tate)教授的影响，开始学习朗兰兹猜想中二阶局部群表示的对应，并作出一个直接的证明。寒暑假里她常去贝尔实验室当顾问，是以有机会接触一些较实际的问题。和那里的数学家合作研究通讯网络及编码上的一些问题。近来她的工作注重于数论在实际问题上的应用，譬如利用特征和估计的结果来构造具有好性质的通讯网络。

回溯以往，她觉得念台南女中的6年是她成长期的黄金时代。 当时的校长景生然先生极注重生活教育，让学生体验了丰富的生活经验，同学之间培养了极深厚的友谊。 直到今日，她最好的朋友仍是中学时代的同窗。到台北上大学，第一次离家，没有父母在身边管教，精神上感到十分舒畅，也培养了她的独立性。 同时在初进台大时，即受教于系里名师，如施拱星教授的数学导论、王九逵教授的微积分，使她对数学眼界大开。 台大数学系的训练相当严速。其一贯作风是，用书艰深，出题困难。由同学间的相互切磋，来弥补师资之不足。学的时候多半囫囵吞枣，若干年后才逐渐领悟。 偶尔系里也请由美国回来的客座教授像项武义、苏竞存、郭子南等开课，让学子如沐春风。 当时虽然国科会办了暑期学人归国讲学课，但对象是研究生，大学部的学生受益不彰。

在伯克利念书这三年，她受到 陈省身教授 的照顾与指导，受益良多。记得到伯克利第二年的暑假，指导教授不在，论文又碰壁，在徬徨愁苦之余，遂想也去修个计算机硕士，或能裨益将来谋职之用。当她将这主意告诉陈先生后，陈先生鼓励她说: “你要是有个数学博士就不需要计算机硕士了，若想学电脑方面的知识，只要教那方面的课程就行了，不必现在去学，发明电脑的冯·诺伊曼（John von Neumann），本人就是极杰出的数学家。你还是专心做论文吧！”听了这番话后，她的心安定下来，两个月内博士论文就完成了。

70年代初期，伯克利数学系盛况空前。系里有四百名研究生，新来的学生每二人共用一张书桌。华裔学生亦为数不少。逢年过节时，中国师生相聚陈家，享受陈师母准备的美味佳肴，尽情欢笑玩乐，久久不散。如今忆起，犹感温馨。

水彩画“金芳蓉和小狗罗素”，作者是金芳蓉的水彩画老师 Maria Klawe

她的数学之旅与别人有许多不同，一则主修 组合学，是比较新的一门，系传统数学和计算机理论的桥梁。 入门虽易，但登堂入室则必须对数学各门有足够的了解，能灵活应用于各种以“0、1”方式表达的信息时代的数学问题。再则贝尔实验室的数学中心，没有数学各门的界限。计算机、通讯都有和数学互通之处。因而接触面广，有些在数学方面的研究与计算机、通讯、化学、物理都有关系。

刚进贝尔公司工作时，同事中诸多高手，不免有点畏惧。但数学脉理分明，层次清晰。其研究所里外，好题目很多，研究也容易顺利。 她在贝尔实验室九年后，逢AT&T与地方电话公司分家。转入贝尔通讯研究所新建立的数学研究所主管数学部门，后升为主管数学、资讯和运筹研究。七年后，觉得离做研究愈来愈远，适时，得到所谓之“贝尔院士”，可离职两年到哈佛大学数学系任访问教授。1994年回母校宾州大学为正教授以及荣誉教授。她在数学学会里相当活跃，担任许多委员会的负责人或主编等，此处不多介绍。

她当初选读数学原因很多，主要的是因她父亲说:“ 数学是科学的根本，学了数学后容易学别科。但学了别门却难转数学。 ”此言对她有多次印证。

当年台大同班和前后期的多位女同学同聚一堂，共同讨论切磋。台大毕业后又大都赴美继续研习，得博士学位时，正是工作机会很困难的时期，各人经历多不相同。幸得在台大数学系打下良好基础，体验所学须活用的重要，十几年来在数学领域里或生活上受益良多，因此她有些精辟的见解供给愿学数学的青年学子。

“治学” ：数学各门各式，既深也繁，表面上好似不同，其根本道理相互通运。如今作论文，通常讲究专精而有独到之见。如果此专精之见能与多处相关的数学领域有类似的效力，则影响力大，如果专精之区，走上死角，很少人关心，岂不可惜？故专攻精研之时，要多留心和其他数学的关联。事实上， 数学分门虽多，但其根源都纠缠一起，学得精和学得深且宽(Depth and Breadth)互辅互成。

数学一门难免崇拜天才，青年学子时有气馁，但从另一个角度来看，数学循序而进，条理分明，各人思路不尽相同，第一篇博士论文，可说是独立研究的起步。作研究如何选题，如何适时而止，虽是靠自己摸索，只要有一个立足点，可往附近推展，并非无迹可循，天分固然重要，但常见许多聪明者不见得成功。 勤能补拙，大多数成功的数学家不见得特别聪明，持之以恒才是最重要的。

“广交” ：既然数学深广，自然文献极多。一人力量有限，多结交数学朋友极为重要。通常等数学文章在杂志上发表时，可能两年已经过去了。目前找题目的状况和大势，多凭口传。朋友可以互相学习、帮助，可更增兴趣，许多诀窍都是从一起合作的朋友处学来的，此外，写文章、或升迁、或换工作，都需经过数学界评论或推荐。如何增加交友和合作的机会呢？要在辞汇语言不尽相同处，找出彼此相同的兴趣及共同语言。再者，不要计较得失或成绩的划分。其实， 慷慨不藏私，从长远看来得多失少。数学知识经交换而增长，并未虞缺。多给别人一分，自己收获更多。与别人合作，常对自己独做时带来灵感。

旅行、演讲、参加数学会议，短期或长期的访问都可增加见闻，放宽研究的范围及交游。 经由数学爱好，建立起持久的友谊，只要有数学的地方，就有朋友，真是“四海若比邻”矣！

“理论及实用” ：亨利·波拉克（Henry Pollak）曾说：“数学没有理论与应用的分野，只有好数学和坏数学的分别。”如果一个定理可以把握住基本原则，化繁复为简单，可以用在许多不同的情形下，则必是好数学。从另一方向来说，很多几何理论与物理极相近，不断的由物理的真实世界指引出正确的方向。她在贝尔研究所时，很多应用的题目在许多情况下出现，把技术引到正确的方向。近来，所有科技受计算机强烈的影响，计算机领域许多大而繁的问题，更需数学提细挈领作确实的分析，带来许多基本计算机的问题，不仅对组合学，也对整个数学有极大的冲击。

“两体问题” ：所谓“两体问题”(Two Body Problem)是指夫妻同是数学家（金芳蓉的老公也是数学家，Ron Graham，中文译作葛立恒），因而产生的种种问题。女数学家尤其有这方面的困扰，大致说来，两体问题有长处，也有短处。两人有相同的兴趣，可以互相讨论，彼此扶助，明白数学研究的心路历程和职业上的需要。给予精神支持。更有机会多结交数学朋友，增加对数学的了解。比如说如果不是她先生全力赞许，她大概不会下决心在三年前离职，去访问哈佛大学。离家二百五十里更不方便。但对研究方面，裨益至巨。得以跨越好些区域和数学大家如丘成桐、芒福德（Mumford）、斯腾伯格(Sternberg)、科斯坦特(Kostant)及迪亚考尼斯(Diaconis)等分别有突破性的合作。

两体问题有些困扰的地方，比如找工作受地点限制等，大体说来，可以设法处理，而两人因彼此扶持，增加效力和影响良多，精神愉快，负面的影响自然逐渐消失，如果两人加起来却只有一个人之力，在大团体里形成小圏子，则正面的影响减少了。

注：金芳蓉的一个访谈见：https://anthonybonato.com/2016/04/27/interview-with-a-mathematician-fan-chung-graham/

当访谈者问及金芳蓉下述问题 “您有什么金玉良言想对学数学的学生、特别是女生说” 时，金芳蓉回答道： “我的回答很简单：不要被吓倒(Don’t be intimidated)。”

In mathematics, you can build up one step at a time. Once you do it, it’s yours. It is a big area, and no one knows everything.

求学过程中一直有很好的数学老师。 铁路小学的赵尚仁老师，北一女的杨宽满、周宗桦老师，台大的施拱星教授。他们不只作知识上的传导，也很会启发学生。尤其是施教授的数学导论，真正引导她进入数学的殿堂，一窥其中的奥妙。

1970年来到伊利诺斯大学，曾在几何与分析之间犹疑了一阵。最后决定和毛里斯·海姆斯（Maurice Heins）学复变函数论。博士毕业后曾去印第安那大学、普度大学任教。

1979年重回伊大任教至今。1985年升正教授，其间曾在法国、纽西兰任访问教授。此外在美、英、中、日、芬等国多次作学术性的专题演讲。曾任美国数学学会议程委员。现在是伊利诺斯大学数学期刊编辑之一。

吴徵眉的研究领域是 复变函数论和势理论 。用势论的方法解决了许多调和函数和偏微分方程的解的边界值的问题，和许多几何函数论中调和量度计算上的问题。

1981年，她和英国数学家瓦尔特·海曼（Walter Hayman）合证了平面区域经过某种保角函数的作用后，直线的长度不会变得任意大。10多年来一直有数学家继续将这定理推广到高度空间中的曲面和类似保角函数上。1987年，她和约輸·路易斯（John Lewis）证明了一个1952年英国大数学家李特尔伍德（J. E. Littlewood）关于“全函数的值分析和多项式的球面积分”的推测。证明中他们用到布甘(J. Bourgian)在调合量度上的定理。

她的先生罗伯特·考夫曼(Robert P. Kaufman)也是伊大教授，在概率论和调和分析方面很有心得。他们一人用概率观点，一人用几何观点，合作发现一连串热势学与普通势学很不类同的性质。

吴徴眉觉得 从事数学研究，才智并不重要。重要的是无悔的兴趣和对工作的执著，并有能耐得住没有成果时的失落。 身为女性，更需要先生的支持、了解和包容自己在日常琐事上的疏忽。她自觉有幸，先生对她的研究结果比对她烧的菜更能欣赏。

她有一个女儿，在伊大附中念书。 工作之余,她喜爱园艺。 一家人都爱侦探小说、影片和旅行。

她小时候在家附近的中正国小上学， 觉得数学容易而喜欢数学。 1961年入台北市立女子中学，1964年人台北一女中，1967年保送台湾大学数学系。1971年人台大数学研究所。1972年得奖学金入美国布兰岱斯大学数学研究所。四年后得博士学位，指导教授是理査德·帕菜斯（Richard Palais）。1976年任加州大学伯克利分校讲师两年。 研究方面受陈省身影响，转为微分几何里的子流形。 1978年起任普林斯顿大学助理教授四年，1982年任东北大学副教授，l986 年升正教授。并曾任普林斯顿高级研究所、德国马克斯·普朗克研究所研究员。多次在美、中、德、英、法各国多所大学做短期访问及演讲，1980年得斯隆奖，1986年当选为美国数学会会员代表，任期三年。1986～1989年任美国国科会顾问委员会委员, 1995～1997年任女数学家学会会长。

她的研究工作可分为三个方向：

第一方向是她的论文，将在坐标变换下不变的向量丛及微分算子分类。许多苏联及欧洲数学家仍继续对此问题做更深的探讨。

第二方向是子流形与发展方程。三维空间里曲率为-1的曲面给出正弦一戈登(Sine-Gordon)方程一解，此类曲面的贝克隆德变換也给该方程的解的一个变换。陈省身和她将此理论推广到仿射极小曲面上，她和特南布菜特（K. Tenenblat）又将此推广到高维子流形上。最近她并发现这些子流形上的结果与调合映射及卡茨一穆迪代数有密切的关系。

第三方向是对称空间里的等参子流形。等参子流形的每个焦距均为常数，有很精致的几何及拓扑性质。嘉当首先研究常曲率空间里的等参超曲面。滕楚莲将其推广到子流形。在1988年，她与帕菜斯将这些结果写成书《临界点理论与子流形几何》( Critical Point Theory and Submanifold Geometry）由 斯普林格出版。

楚莲在农村长大，家境清寒，但家庭温暖，父母管教严，又一直有良师教导，求学过程顺利。小学五年级时，虽因家贫无法参加课外补习，有时学杂费也无法定时缴。但老师 周贤耕先生 仍然鼓励与夸奖。初高中时数学老师 刘贵美及蔡长庚先生 都把数学教得很有趣。大一时， 赖东升教授 开了一门有趣的数学导论； 施拱星及缪龙理教授 的课，习题多且难；皆为学生打下良好的基础。大三时 郭子南教授 (芝加哥大学博士)自美回台大任客座教授，开了一门伽罗瓦理论，郭教授教得非常好，又是楚莲在台大唯一女教授开的课，大三时她就已经决定将来要当大学教授，回台大开课，开得和郭子南一般好。

得博士后第一个工作是在伯克利加大分校任讲师。又得到 陈省身先生 的教导。 陈先生说做数学最重要的是有恒心，不间断的一直继续做。 毕业后最初六七年，压力极大，但也是个好训练。以后可较自立， 能够体会做研究过程中的乐趣。 她父母都希望她长大后能当老师，但并不需要是大学老师。他们对她喜欢数学觉得很有趣， 父亲常说他求学时最差的是数学，没想到女儿却最好。

记得大学时，每逢女学生功课好时，总会听到男学生说，这是因为女生会背，而实力并不如好的男学生，但多年以后可以肯定这个论点是错的。

她到美国是第一次离家，没有亲人，不会做菜，不会开车，生活上不易适应。课业方面倒是很顺利。

1981年她与帕莱斯结婚，1982年定居麻州波士顿西城。除了研究及教书外，她喜欢园艺、陶艺、听古典音乐、看小说、散步及骑自行车。

注：后来，滕楚莲与帕莱斯一起为陈省身合写了其学术传记，收入《陈省身文集》（张奠宙、王善平主编，华东师范大学出版社）。