作者 | 刘瑞祥

来源 | 说短论长

编辑 | 遇见数学

本文原创性很低，但是我希望大家读了以后能“真的”读懂，切实理解其中道理，而不是囫囵吞枣。本文涉及初等数论的三个非常重要的定理（算法），均出自《几何原本》。

一、预备知识

如果两个数都能被第三个数整除，则这两个数的和、差一定能被第三个数整除；如果两个数有且只有一个能被第三数整除，则这两个数的和、差一定不能被第三个数整除。

二、辗转相除法的原理

设有两个数 、 ，欲求其最大公约数，可以用大数除以小数，取其余数（肯定小于一开始的较小数，我们不妨称这一步得到的余数是第一余数），再以开始所给的较小数除以第一余数，再取余数（即第二余数），以后以第一余数除以第二余数达到第三余数，第二余数除以第三余数得到第四余数…直至余数为 时，上一次的余数即为初始两个数的最大公约数。

例：设初始的两个数为 和 ，以 除以 得到第一余数为 ，再以 除以 得到第二余数为 ，以 除以 得到第三余数为 3，因为 12 能被 3 整除，所以 3 是最大公约数。

→ 和 的最大公约数是 。

道理很简单： 取余数，其实可以看做从 里连续减去 直到减不开为止。而公约数 （姑且不管是不是最大）是 和 共同的约数，即 、 都是 的倍数，所以从 中连续减去 ，两个同为 倍数的数做减法，得到的余数（这里是第一余数）当然还是 的倍数，此即前面提到的预备知识。以后辗转进行下去，每一次得到的余数当然也还是 的倍数。直到得到这个 ，也就是整除了。

那为什么是最大公约数呢？因为如果不是最大的，换句话说就是还有更大的，比如是 。那么这个 就在前面的过程中被“跳过去”了。那么显然就违背了预备知识。因为本来任何一步里两个数的全部约数都满足预备知识，结果这么一来肯定有的不满足了。

以上就是著名的欧几里得算法，只不过当年欧几里得用词远比这严谨。这个算法有什么用呢？它比起小学学的短除法，最大的好处是不用一个个的尝试某个数是不是公约数。短除法对于大数很麻烦，比如求 和 的最大公约数需要一个个尝试，如果给的两个数更大，特别是两个数的公共质因数很大，就更麻烦（最近一位老师让学生计算 和 的最大公约数，许多学生就算不出来）。另外用辗转相除法还可以立刻得出一个结论：相差为 的两个正整数互质。

三、最大公约数和最小公倍数的关系

这个关系很简单：两个数的最大公约数和最小公倍数，二者的乘积等于原来两个数的乘积。

首先我们看两个互质数的情况：互质数的最大公约数就是 ，最小公倍数就是这两个数的乘积，显然符合这个关系，但是任意两个正整数呢？

要理解这个关系也不难，假设两个数 、 的最大公约数是 ，即 ， ，则显然 ，而括号里的 恰好就是最小公倍数。如果还有人觉得不放心，可以回忆一下短除法的计算过程：对于两个数的情况，“侧面的”乘在一起就是最大公约数 ，侧面的和“底下的”乘在一起（无论计算最大公约数还是最小公倍数，侧面的只取一次）就是最小公倍数 。

四、质数有无穷多个的证明

这个定理有很多证明方法，但最简单的是这个：假设质数是有限的，将全部各个质数乘起来再加 ，则这个新得到的数肯定和全部质数的乘积互质，即不能被已有的各个质数整除，所以是一个新的质数。这就和前面矛盾了。

大家要注意，这里并不是说若干质数乘起来再加 一定会得到新的质数，实际上也可能得到一个能被其它质数整除的合数。比如 、 都是质数，而 却不是，它是 的倍数，注意 不是 中的任何一个。你可能认为得到合数的情况非常罕见，其实不然，你可以按照上面的规律继续算几个，只不过即使得到的是合数，其约数往往也比较大。

用连续相乘的方法还可以求任意长度的连续合数数列。比如我要生成连续 个合数，就可以先计算出 ，然后用这个结果加 、加 、加 一直到加 ，因为 含有 的每个因子，所以加 就是 的倍数，加 就是 的倍数，如此等等。可以想见，用这样的方法得到连续的千百万个合数也是没有问题的。但是这样得到的数列肯定不会是最小的，即以此题为例，实际上在这之前我们就有