4.9* Hausdorff维数及其相关（9）—— 翻滚吧球宝宝~$￣︶￣*$)

萌の数学 · 知乎专栏 · · 2017-07-01 03:21

正文

目标与步骤：

1. 对不起，因为我是生活在二次元的女孩【拓扑维数】；

2. 凿壁偷光的Cantor先生【Cantor集】；

3. 朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋【Hausdorff测度和Hausdorff维数】；

4. 人生代代无穷已，江月年年望相似【自相似集】；

5*. 差之毫厘，谬以千里【球覆盖测度和网测度】;

6*. 尖沙咀谁说了算？！【Minkowski维数和Minkowski容量】；

7*. 路人女主的养成方法【填充维数和填充测度】；

8*. 万法归一【Caratheodory构造】；

9*. 翻滚吧球宝宝~$￣︶￣*$)【Haar测度与一致分布测度】；

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　　抱歉最近非常忙，刚刚参加完几个会议，两三周之后又有会，实在是没能够抽出太多的时间来写专栏。不过想着反正也就是最后一节了，与前面的内容关联也不大，所以我也就一直放着直到这周终于抽出一点时间来敲键盘了~

　　【你反正就是找借口嘛摔！(｀д′ )…彡…彡……(_ _ヽ)】

　　然后再厚颜无耻地贴出二维码地址~

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　　在很久很久以前我们提到了一个有趣的概念，叫做拓扑群。让我们来简单地回忆一下那一节里面提到的东西吧：群就是一个集合上面有一些可以进行（可能不交换）“乘法运算”的东东。这个乘法赋予了群的代数结构。

　　但是仅仅只玩代数结构是很枯燥的。为了更好玩一点，为了可以在上面做一些分析和几何研究，我们就是试图给群加上了拓扑结构。所谓拓扑就是一个字典，告诉我们一个空间，比如一个群，上面有哪些集合是开集的东东。而拓扑群，就是要求群上的两个基本运算，乘积运算和逆运算，都要在这个群上的拓扑下连续。我们通常遇到的欧氏空间，即 $\mathbb R^n$ , 就是一个典型的拓扑群

　　有了拓扑我们就可以确定哪些函数是连续函数，从而有了连续函数组成了空间，也就可以将一些算子作用在上面开心地做一些羞羞的事情啦(つ/////⊂)~ 如果我们的群上面的拓扑比较好，比如是局部紧并且Haudorff分离的，那么我们就可以通过定义线性算子来定义积分，从而试图构造出测度。特别地，如果我们考虑的测度在群上是（左）平移不变的，也就是说对于任意一个固定集合，无论我们怎么在群里翻滚它，它（在这个测度下）的大小都不变，那么这样的测度，被成为Haar测度，是存在且唯一的。由此我们可以推导出，因为我们前面提到的Hausdorff测度 $\mathcal H^n$ 是欧氏空间 $\mathbb R^n$ 上平移不变的测度，所以它和Lebesgue测度之间就相差一个乘积常数而已。

　　其实上面的话啰嗦了半天，就是将前面讲过的Haar测度的定义和性质简单复述了一遍而已。只不过我是怎么着都不想把那么可怕的证明放出来吓唬人。值得庆幸的是，我们这里的欧氏空间可不是简简单单地群：我们在上面还有距离的定义呢。在这种情况下，我们可以将一个测度 $\mu$ 的左平移不变性换成一种性质来表述了：

如果一个度量空间 $X$ 上Borel正则（Borel regular）的测度 $\mu$ , 对于任意 $x,\,y\in X,\ 0<r<\infty$ ，都满足 $0<\mu(B(x,\,r))=\mu(B(y,\,r))<\infty,$ 则我们称它是一致分布的（uniformly distributed）.

　　简单地来说，我们就让球宝宝在空间里面滚来滚去……~(～o￣▽￣)～o 滚来滚去……o～(＿△＿o～) ~ 但是无论滚到哪儿，它的大小都是不变的。显然平移不变的测度也满足上面这个性质。现在我们就试图用这个性质来证明，（左）平移不变测度如果存在则是唯一的（模去一个乘积常数）。

Haar测度：是我，是我先，明明都是我先来的……被介绍给大家也好，列出我的性质也好，还是将我应用在实际问题上也好……为什么你却要去证明一致测度的唯一性而不是我的啊？

　　一个简单的解释就是，由于一致分布的测度下的球的测度和球的位置无关，而只跟球的半径大小有关，因此这个测度在空间中的“密度分布”基本上是平均的；这也就是这个测度名字的由来。不过在数学上，我们还是需要严格地推理的：假设我们有两个这样的测度 $\mu$ 和 $\nu$ . 对于 $x\in X$ , 我们定义两个函数

$g(r)=\mu(B(x,\,r)),\ h(r)=\nu(B(x,\,r))$ .

那么对于一个非空有界的开集 $U\subset X$ 和 $x\in U$ ，我们显然有

$\lim_{r\to 0^+} \frac {\nu(U\cap B(x,\,r))} {h(r)}=1$ .

因此根据Fatou引理和Fubini定理，我们有

$\begin{align} \mu(U)&=\int_{U} \lim_{r\to 0^+} h(r)^{-1}\nu(U\cap B(x,\,r)) d\mu x\\ &\le \liminf_{r\to 0^+} h(r)^{-1} \int_{U} \nu(U\cap B(x,\,r)) d\mu x\\ &= \liminf_{r\to 0^+} h(r)^{-1} \int_{U} \mu(U\cap B(x,\,r)) d\nu x\\ &=\liminf_{r\to 0^+} \frac {g(r)} {h(r)} \nu(U). \end{align}$