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电子衍射基础
晶体内部的质点是有规则的排列，由于这种组织结构的规则性，电子的弹性散射波可在一定方向相互加强，除此以外的方向则减弱，这样就产生一束或几束电子衍射波。晶体内包含着许多族晶面的堆垛，在每一族晶面的每一个晶面上，质点都按同样的规律排列且这族晶面的堆垛间距是一个恒定的距离，称之为晶面间距d
hkl
。
当一束平面单色波照射到晶体上时，各族晶面与电子束成不同的角度，电子束在晶面上的衍射角为θ，将上述特征入射束标记为A、B，其散射束标记A1、B1，当第一层晶面的反射束OA1与透射束在第二层晶面反射束RB1间的光程差δ= SR + RT ，晶面间距为d，则δ= 2d sinθ 按波的理论证明，两支散射束相干加强的条件为波程差是波长的整数倍，即：
2d sinθ= nλ
这就是布拉格定律(Bragg’s Law)，其中n 为整数，晶面间距d 代表晶体的特征，λ 为电子波长，代表入射电子束的特征，θ 为衍射角，代表入射束与d 代表的晶面间的几何关系。布拉格定律规定了一个晶体产生衍射的几何条件，它是分析电子衍射谱的几何关系的基础。只要晶面间距d
hkl
和它对入束的取向θ 满足布拉格定律，可以同时产生衍射：
2(d/ n)sinθ= λ
据晶面指数的定义，晶面间距小了n 倍就相当于晶面指数大了n 倍：
2d
nh,nk,nl
sinθ= λ
n 为晶面的(hkl)衍射级数，因此，以上公式是把晶面(hkl)的n 级衍射换成晶面(nh,nk,nl)的一级衍射，nh,nk,nl 是干涉面的指数。因此，经简化后的布拉格定律公式可以不写n，即：
2d sinθ = λ
由以上公式可以估算产生布拉格衍射的衍射角θ ，通常透射电镜的加速电压为100~200kV，即电子束的波长为10
-3
nm量级，常见晶体的晶面间距为10
-1
nm数量级，由上式可得衍射角θ= 10
-2
rad<10 , 这表明能产生布拉格衍射的晶面几乎平行于入射电子束。
将布拉格定律改为sinθ = (1/d) / (1/λ )，这样电子束(λ )、晶体(d)及其取向关系可用一个三角形AGO表示，如图2所示，其中，g为垂直于晶面(hkl)的倒易矢量，
|g| = OG =1/d
hkl
AO=2/λ ，∠OAG= θ
以中心点O1为中心，1/λ 为半径作球，则A,O,G都在球面上，这个球称为Ewald球如图2。
AO表示电子入射方向，它照射到位于O1处的晶体上，一部分透射过去，一部分使晶面(hkl)在O1G方向上发生衍射。Ewald球是布拉格定律的图解，能直观地显示晶体产生衍射的几何关系。
在透射电镜中，我们在离样品L处的荧光屏记录相应的衍射斑点G”，O”是荧光屏上的透射斑点，照相底片或CCD相机上中心斑点到某衍射斑(G’’)的距离R为：
R=L tan2θ
考虑到能满足布拉格定律的角度θ很小，故tan 2θ = 2θ，再由布拉格定律2d sinθ = λ, 可得：
Rd = Lλ
式中，d是满足布拉格定律的晶面面间距。入射电子束的波长λ和样品到照相底片的距离L是由衍射条件确定的，在恒定实验条件下，Lλ是一个常数，称为相机常数(camera length)。此式是利用电子衍射谱进行结构分析的基础，在分析晶体衍射花样时，一般Lλ是已知的，从衍射谱上可量出R值，然后算出晶面间距d，同时可以结合衍射谱算出的晶面夹角，确定晶体的结构。
电镜中使用的电子波长很短，即Ewald球的半径1/λ 很大，Ewald球面与晶体的倒易点阵的相截面可视为一平面，成反射面，所以电子衍射花样实际上是晶体的倒易点阵与Ewald球面相截部分在荧光屏上的投影，即晶体的电子衍射谱是一个二维倒易平面的放大，相机常数Lλ相当于放大倍数。
晶带定义：
许多晶面族同时与一个晶体学方向[uvw]平行时，这些晶面族总称为一个晶带，而这个晶体学方向[uvw]称为晶带轴。
因为属于同一晶带的晶面族都平行于晶带轴方向，故其倒易矢量均垂直于晶带轴，构成一个与晶带轴方向正交的二维倒易点阵平面(uvw)*。若晶带轴用正空间矢量r= ua+vb+wc 表示，晶面(hkl)用倒易矢量 G
hkl
=ha*+kb*+lc*表示，由晶带定义 r⊥G 及 r?G =0 得：
hu+kv+lw = 0
该式即为电子衍射谱分析中常用的晶带定律（Weiss zone law）。
(uvw)*为与正空间中[uvw]方向正交的倒易面。(uvw)*⊥[uvw]，属于[uvw]晶带的晶面族的倒易点 hkl 均在一个过倒易原点的二维倒易点阵平面(uvw)*上。如(h
1
,k
1
,l
1
)，(h
2
,k
2
,l
2
)是[uvw]晶带的两个晶面族，则由晶带定律可得：
h1u+k1v+l1w = 0
h2u+k2v+l2w = 0
可解出晶带轴方向[uvw]如下：
由以上可以看出，正空间的一个晶面族(hkl)可用倒空间的一个倒易点 hkl 来表示，正空间的一个晶带[uvw]可用倒空间的一个倒易面(uvw)*来表示，对应关系如图 4 所示，这大大地方便了电子衍射谱的分析。
不同类型的晶体的电子衍射花样
根据晶体的类型及结构不同，可产生不同的电子衍射花样，常见的有以下几种：
单晶
：单晶的、电子衍射谱的特点是具有一定对称性的衍射斑点，中心的亮点是透射斑点，对应 000 衍射，越靠近 000 斑点的衍射斑点的 hkl 指数越小，越远离 000 斑点的衍射斑点的 hkl 指数越大，如图 5a 所示。
多晶
：完全无序的多晶可以看成是一个单晶围绕一点在三维空间作 4π 球面角旋转，因此多晶体的 hkl 倒易点是以倒易原点为中心，(hkl)晶面间距的倒数为半径的倒易球面。此球面与 Ewald 球相截于一个圆，所以能产生衍射的斑点扩展成圆环，因此多晶的典型衍射谱是一个个的同心环，如图 5b 所示。环越细，表示多晶体的晶粒越大，环越粗，多晶体的晶粒越小。
微晶/纳晶
：当晶体的晶粒在微米/纳米级时，用选区光阑套住一部分晶粒得到的衍射图如图 5c 所示，由于各晶粒的取向不同，所以会出现类似单晶的一系列衍射斑点，同时，由于各晶粒含有相同晶面间距的晶面，所以这些衍射斑点呈同心圆分布。
