椭圆函数领域的经典之作 | 新书速递 | 椭圆函数及其应用（第一卷）：函数论和分析基础（英文版）/ Robert Fricke著

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计算满足各种条件的代数曲线和簇的数量是计数代数几何中的一个基本问题，而 Schubert 演算法是解决此类问题的系统和有效的理论。

这个理论是由 Schubert 发展起来的，本书给出了他对这一理论的全面和通俗易懂的阐述。从一开始，Schubert 演算法理论就吸引了许多伟大的数学家的注意。例如，Hilbert 提出了关于 Schubert 演算法的严格论证，作为他著名的 23 个问题列表中的第 15 问题。弦理论的最新发展有助于解决计数几何学中一些悬而未决的问题，因此重新燃起了学者们对这一主题的兴趣。

Schubert 的这部经典著作的英译本对于初学者和计数几何学专家来说都是非常有价值和极其有趣的，读者可以通过阅读本书了解 Schubert  如何思考这些问题以及他如何提出解决这些问题的方法。正如  Schubert  所说，这本书“应该让读者熟悉一个新的几何领域的思想、问题和成果”，并且“应该教授如何处理一种奇特的演算方法，使人们能够以简单自然的方式确定大量的几何数以及奇点数之间的关系”。

Lie群的算术子群是SL(n, Z)在SL(n, R)中的自然推广，并且通过与算术子群相关联的局部对称空间，在自守形式理论、代数几何中的模空间理论和数论中起到了重要作用。算术子群理论的一个重要组成部分是约化理论，它始于Gauss在二次型上的工作。本书由约化理论的四个伟大的贡献者的论文和讲义组成：Armond Borel, Roger Godement, Carl Ludwig Siegel和André Weil。这些著述反映了作者们对该主题的深刻了解和他们的观点。Weil的讲义是第一次正式出版，其他文章则是第一次被翻译成英文。因此，对于所有对算术子群和局部对称空间感兴趣的读者，这本书都将是非常有价值的导引和历史文献。

希腊数学的最高成就是正多面体的分类，即五种所谓的柏拉图体。最复杂的正多面体是二十面体。直到19世纪，数学中最重要的问题是解代数方程。在这本经典著作中，Klein展示了如何将这两个看似无关的主题联系起来，并将它们与另一个新的数学理论联系在一起：超几何函数和单值群。这清楚地表明了克莱因对数学统一性的高瞻远瞩。

本书包括Peter Slodowy的评注和他关于Klein这本经典著作的解释性论文，从而帮助读者理解ADE的分类，以及它们在当前研究中的许多意想不到的联系和应用。

Jacquet-Langlands对应是Langlands 纲领一个重要的函子性原则。本书由自守表示法国学派创始人戈德门特给出的Jacquet-Langlands对应完整的介绍，从自守表示最基本的结论出发，讲到L 函数反定理。

Kuga簇是对称空间上的纤维簇，它的纤维是Abel簇。在Shimura簇和数论中，Kuga簇发挥了重要的作用。本书首次系统地阐述了这些簇。

本书共4章。第1章给出了到向量调和形式的详细推广。这些结果应用于第2章构造Kuga簇并理解其上的同调群。第3章研究模形式中最基本的Hecke算子。所有以前的结果应用在第4章证明Kuga簇的模块化性质。注意椭圆曲线的模块化性质是Wiles关于费马大定理证明的关键。

本书还包含了Weil的一封信和Satake的一篇文章，很切合这本书的主题。

本书是著名的数学家在其研究鼎盛时期所写的有关偏微分方程和微分几何的著作，分成两部分。第I部分讨论了椭圆微分方程解的存在性和唯一性，简洁、切中要点，叙述流畅，体现了著名数学家对所写材料的深刻理解。第II部分所讨论的议题对于很多读者，甚至微分几何方面的专家都是新的。

本书篇幅短小精悍，却包含丰富的内容，可供对本领域感兴趣的读者参考。