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灵机一动 | 第373期蚂蚁与正方体

好玩的数学 · 公众号 · 数学 · 2017-12-28 07:02

正文

灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

NO. 373

蚂蚁与正方体

一只蚂蚁从正方体某个面的中心出发，每次都走到相邻面的中心，每个中心恰好经过一次，最终回到出发点。所有经过的中心排出的序列共有多少种？（两条序列不同指沿着行走方向经过的中心点顺序不一样）

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上期问题回顾

NO. 372

数字黑洞

给定4个不全相等的数字，用它们组成一个最大的4位数，又用它们组成一个最小的4位数（允许首位数字为0），然后作差，称为一次运算。对差中的4个数字再进行类似的运算，问：是否可以经过有限次操作最后总能得到一个同样的数？如果能，这个数是多少？为什么？

分析与解答

答案：最终都会变成6174，而且不超过七步。

这在数学上叫做重排求差黑洞，是印度数学家卡普雷卡尔发现的，也叫卡普雷卡尔黑洞。

证明如下：

假设四位数排列为ABCD，其中A≥B≥C≥D，我们来看ABCD-DCBA。

1）当B=C时，ABCD-DCBA=1000A+D-1000D-A=999(A-D)，而A-D的差只能是1到9，所以这样B=C时，减过一次后就只能有9个结果，即：

0999,1998,2997,3996,4995,5994,6993,7992,8991。其实可以只讨论前五个组合，后四个其实是和前五个一样的数字，换了顺序而已。

2）若B>C，则ABCD-DCBA之差，千位是A-D，个位是借位后10+D-A，两者之和恒为10。再看百位和十位，十位被个位借了1，又向百位借，所以差的十位就是10+C-1-B，差的百位是B-1-C，所以差的十位百位两者之和恒为8。

所以B>C时，差的组合也有限，两端数字之和为10，中间两位和为8，共有以下25个组合(重复的不列，如9081视同9801重复)：

9801,9711,9621,9531,9441,

8802,8712,8622,8532,8442,

7803,7713,7623,7533,7443,

6804,6714,6624,6534,6444,

5805,5715,5625,5535,5445。

总之，任何情况下，这个四位数经一次变换，必形成上述的5+25=30种组合之一。再经过对这30个组合一一试验，知道它们最终都会变成6174，而且不超过七步。

注1： 最长的七步有好几个数，如：