如果你有在认真复习，一定知道数资中的函数最值问题一直都是考察要点，同时也是一部分同学的备考难点。为帮助大家解决这一重难点，稳稳地拿到相应的分数，今天小粉笔就来跟大家讲讲二次函数型和和一定型的最值问题，两函数没有必要必须区分，重在做法，掌握做法之后一切都可以迎刃而解。
1、题型特征：常以经济利润的模型进行考察。
（1）直接给出（整理出）关于利润/收入的函数式→一般式，方法是找对称轴。
（2）题目已知商品涨价→销量下降，商品降价→销量上升，求利润或收入的最大值。
2、解题方法：一般式——找对称轴。
直接给出函数表达式求什么时候取的最值y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）。当x=-（b/2a）时，y取得最值，y=（4ac-b²）/4a。
【引例1】（2017辽宁）某商业银行的总利润P与贷款数量Q之间的函数关系为：P=10000+400Q-Q²，当贷款数量为（ ）万元时，总利润最大。
A.100
B.150
C.200
D.250
【解析】
P=10000+400Q-Q²，整理得到P=-Q²+400Q+10000，当Q=-b/2a=（-400）/（-1*2）=200时，取得最大值，对应C项。【选C】
两点式题目特征：
1、先给出一个方案，然后进行调整，常常会出现“每……就……”。
2、每降价x元→则销量下降y个或每降价x元→则销量上升y个。此消彼长/薄利多销。求最大利润或最大收入。最大利润=最大收入-成本。
【例1】（2017天津海滨）某商店出售A商品，若每天卖100件，则每件可获利6元。根据经验，若A商品每件涨1元钱，每天就少卖10件。为使每天获利最大化，A商品应提价：
A.6元
B.4元
C.2元
D.10元
【解析】
获利最大，可根据条件列等式：利润=单利*销量。假设提价x次，即提价x元，降10x件销量。利润=（6+x）（100-10x），整个曲线关于对称轴对称，当y=0时，可取得两点的量。当得y=0时，解得两个解x1=-6，x2=10，对称轴在两者中间即x=（-6+10）/2=2，涨价2次涨了2元，对应C项。【选C】
1、根据条件和所求列方程，写成两括号相乘的形式。
2、求出使方程等于0时的两个根：x1、x2。
3、求出两个的平均值：当x=（x1+x2）/2时，此时乘积最大。
4、练习：y=（75-x）*（500+20x），令两个括号分别等于0，即75-x=0→x1=75，500+20x=→x2=-25。对称轴x=（75-25）/2=25。
求出下列各函数当x为多少时函数可取得最大值。
1.y=（35-5x）*（3+x）。
解：y=0，35-5x=0→x1=7，3+x=0→x2=-3，取中x=（7-3）/2=2。
2.y=（18+3x）（28-2x）。
解：18+3x=0→x1=-6，28-2x=0→x2=14，取中x=（14-6）/2=4。
3.y=（150-2x）（100+4x）。
解：150-2x=0→x1=75，100+4x=0→x2=-25，取中x=（75-25）/2=25。
两数和一定，差小积大。两个数离得越近，差值越小，乘积越大。
引例：
（1）a+b=100，其中a、b均为正整数，则a*b最大值为？
答：当a=b=50的时候，两者乘积最大，a*b=50*50=2500。如果a和b不能相等，则让两个数最接近，a=49，b=51，a*b=49*51=（50-1）*（50+1）=50²-1=2499。
（2）2a+5b=100，其中a、b均为正整数，则a*b最大值？
答：把2a和5b分别看成一个整体，让两个部分平分100，系数2和5不影响最值，当2a=5b=50时，两者乘积最大，a=25，b=10，a*b=25*10=250。
（3）a*b=100，其中a、b均为正整数，则a+b最小值为？
答：当a=b=10时，两者和最小，a+b=10+10=20。换一组数验证，如果a=1，b=100，a+b=101＞20，因此当a=b时，a+b最小。
例1：（2019新疆兵团）某健身馆准备将一块周长为100米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周长为160米的长方形区域划为游泳场馆。若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积。问两块场地面积之差为多少平方米？（ ）
A.625
B.845
C.975
D.1150
【解析】
要满足周长条件下的最大面积。设瑜伽场地的长为a，宽为b，注意长方形周长=2（a+b），则a+b=100/2=50，当a=b=25时，乘积最大，a*b=25*25=625。设游泳馆的长为a’，宽为b’，则a’+b’=160/2=80，当a’=b’=40时，乘积最大，a’*b’=40*40=1600。两者面积之差：1600-625，看尾数，尾数00-尾数75=尾数25，对应C项。【选C】
【注意】当周长一定的情况下，圆的面积最大，图形越对称，面积越大。
例2：（2017天津滨海）受市场影响，某种品牌同种价位的自行车在三个商场都进行了两次提价（第二次提价的百分比是以第一次提价后的价格为基础的），A商场第一次提价10%，第二次提价20%；B商场第一次提价15%，第二次提价15%；C商场第一次提价12%，第二次提价18%；则提价最多的商场为：
A.C商场
B.商场
C.B商场
D.无法确定
【解析】
假设自行车的价格原来都是a元，在A商场第一次提价后变成：a*（1+10%），第二次提价后变成：a*（1+10%）*（1+20%）；同理，在B商场两次提价后变成：a*（1+15%）*（1+15%）；在C商场两次提价后变成：a*（1+12%）*（1+18%）。问提价最多的商场，用提价后-提价前，提价前都是a，忽略不看，直接看提价后谁最大。（1+10%）和（1+20%）、（1+15%）和（1+15%）、（1+12%）和（1+18%），和都是定值，都是1+30%+1。当两者相等（或者平分）的时候乘积最大，因此是B商场最大。注意B商场对应的是C项，不要看错。【选C】
1、
二次函数（此消彼长）
：
做题步骤，列式——找根——平分。
（1）一般式：x=-（b/2a）函数取到最大值。
（2）两点式：
①总利润=单个利润*销量。
②总收入=单价*销量。
③方法：取使函数为0时两个x的值，求中点。
④注意：算出x为“次数”；若非整，则四舍五入取整。
2、和一定型：
（1）（a+b）和一定，a=b时，a*b最大。
（2）（a*b）积一定，a=b时，a+b最小。
掌握了理论之后，还要经过长时间多次的复习加深记忆和刷题巩固，只有这样才能保证在考场上拿到应有的分数，为了帮助大家积极备考，小粉笔准备了优质的
【全日制线上笔试班】
，一起来看看吧~
