如果造物主真的存在——
比起神，他更应该是一个程序员。
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1978年，美国的洛伦·卡彭特（Loren Carpenter）供职于西雅图波音飞机公司，其工作内容是协助飞机工程师完成可视化的飞行状态模拟。他想在自己的电脑里画出飞机下空连绵的山脉，而当时的电脑绘图技术似乎无法帮到他什么：毕竟连奥斯卡也是直到这一年才首次设立了“最佳视觉效果奖”，获奖影片是特摄技术的产物——《星球大战》。
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换你也会想回到那个年代，当一名特技师的
想要绘制出逼真的山脉，需要高精度地还原岩石效果和断面形态。虽然很少有曲面，但这在当时可不是一个轻松的差事——更何况卡彭特想做的，是一整个飞行区域的地况全貌。
然而，
卡彭特
在不久前所看的一本书给了他一丝灵感。
卡彭特
意识到，既然山脉的每个面都是平面，也就是说可以将其看成是不同三角形的叠加。那如果赋予电脑一套指令，让三角形能够按照指令所赋予的逻辑规律进行重复和积累，最终实现“生长”，是否就能在电脑里生成三维的山脉了呢？
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众望所归，
卡彭特
在三天之后便史无前例地成功在电脑中绘制出连绵的逼真山脉，凭借着键盘和鼠标扮演了一回创世者的角色。借着这股巧劲，他硬是一个人开创了特效制作的新纪元。四年之后，
卡彭特
加入了卢卡斯影视公司，并在《星际迷航2：可汗之怒》中创造了一个完整的星球。
而那本给予卡彭特灵感的书名为《FACTALS》，该书作者是本华·曼德博（Benoit Mandelbrot）——一位在当时没啥名气的数学家创造的一个词汇，
来自拉丁文frāctus，有“零碎”、“破裂”之意，直译为“分形”。
而这个不知名的数学家，后来也凭借着分形理论成为了极少数能够成功挑战古典数学体系的数学家之一。
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本华·曼德博
但是在介绍他的故事之前，我们不妨先往回捯饬捯饬。
康托尔集
1883年，德国数学家康托尔（Cantor）提出了康托尔集的概念：
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三等分一条长度为1的直线段，去掉中间一段，留下另外两段。
将剩下的两段再分别三等分，各去掉中间一段，留下更短的四段。
重复上述操作，线段数目会越来越多，线段长度会越来越短。公式表达为：
边长r=(2/3)^n，
边数N(r)=2^n。
在极限条件下，最后一次操作后将剩下无穷数目的线段，每条线段的长度趋于无限小，可将其视为点。
而所有这些点所形成的离散集合，便是康托尔集。
其实在当时，这一概念已经让数学界嗅到了一丝危险的气息：这既不像点的轨迹一样可以用简单的函数进行表现，也无法用任何一个经典方程式加以解释。
更奇怪的是，不管框选出多大或者多小的一个子集区域，看上去都跟整体一模一样。
科赫雪花曲线
1904年，瑞典数学家海里格·冯·科赫（Helge von Koch）则干脆把这种规律放到了平面几何中加以表现:
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设想一个边长为1的等边三角形，
取每条边中间的三分之一，接上去一个形状完全相似但边长为其三分之一的三角形，
我们可以得到一个六角形。
现在取六角形的每个边做同样的变换，即在中间三分之一接上更小的三角形，
以此重复，直至无穷。
由于最后得到的形状特别像是显微镜下的雪花，人们将其命名为科赫雪花曲线。
科赫雪花曲线所形成的面积虽然越来越大，但不管怎样都不会超过原始三角形的外接圆。然而更为诡异的事情发生了：曲线的周长在一次次的变化之后越来越长，直至无限长度。
也就是说，
一条无限长的闭合曲线边界，却包围出一个明确有限的面积。
这分明站在了当时数学界保守派的对立面。正因如此，当时的人们也将其称为病态曲线。
豪斯多夫维
14年之后，波兰数学家豪斯多夫·贝塞科维奇维（Hausdorff-Becikovich Dimesion）再一次向保守派数学家发起冲击——他开始质疑维度为什么非得是整数。
在搞懂豪斯多夫维之前的概念之前，我们先来看看保守派数学家是如何解释维度的：
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一条长度为1的直线段，我们将其本身进行二等分，得到2^1=2个长度为1/2的线段；
一个边长为1的正方形，我们将其边长进行二等分，得到2^2=4个边长为1/2的正方形；
一个边长为1的正方体，我们将其边长进行二等分，得到2^3=8个边长为1/2的正方体。
我们发现，将一个图形的边长裁切为1/a长度时，会得到b个图形，其中满足a^D=b关系，而这个D，就是我们常说的维度。
在古典数学体系里，维度D只能是整数。这似乎没有什么不对。
但是，
豪斯多夫
发现了问题：
我们画一根线段，
如果用0维的点来进行衡量，结果为无穷大，因为一条线段中包含无穷个点；
而如果拿一块平面去衡量，则只能得到0，因为直线中不包含平面；
所以我们只能用1维图形来衡量1维的线段长度。
同样的，我们用1维的线段去衡量平面，结果也是无穷大；
拿一块3维的体去衡量，只能得到0；
我们只能用2维的图形去衡量2维的平面大小。
再来看看科赫曲线，用1维的线段去衡量，我们得到的结果是无穷大；
用2维平面去衡量线段，则只能得到0——
因此，我们只有拿一个介于1维和2维之间的图形去衡量科赫曲线，才能得到一个确切有限的值。
也就是说，科赫曲线的维度，与能够测量出其确切有限值的图形一样，介于1维和2维之间。
另外，
豪斯多夫
还通过计算得出了科赫雪花曲线的维数d=log(4)/log(3)=1.26185950714...
从奇怪的数集，到雪花曲线的诡异之处，再到对维度的重新认知，分形理论正在以不可阻挡的趋势发展着。接下来终于轮到上文提到的“不知名数学家”——
曼德博
登场了。
曼德博
在大学毕业之后就到高校中当起了人民教师。而在1958年，他终于受不了枯燥的教课生活，去了一家公司上班。当时的这家公司正被一个事情困扰：通过电话线传输计算机数据的过程中，信息往往很难准确传达，电话线路上也随之会产生严重的噪音干扰。
曼德博
将那些噪音绘制成了图像，然后惊奇地发现：
无论是截取多少时间长度的噪音图像，一天、一小时，甚至一秒，截得的图像都极为相似！
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和读到这里的你一样，
曼德博
也联想到了康托尔集和科赫雪花曲线：
重复、积累、自我相似、迭代，这些巧合绝非偶然。
另外，
曼德博
去的那家公司，叫IBM。
借助于IBM的研究环境，
曼德博
开始用计算机研究分形。而其中又以对朱丽叶集的研究所获得的进展最为有趣：
设定一个公式为f(a),将a1代入得到a2，
