分治法的思想是什么？

给定一个问题集合，大小为n,将它划分成a个大小为 n/b 的小问题，然后组合每个子问题的结果，递归的解决每个小问题，直到最后的问题被解决

a >=1 b>1 。解决时间为 T(n)=aT(n/b)+O(合并需要的时间)

使用分治法去解决Convex Hull

convex hull定义

可以定义到更高维，这里添加的是更简单的条件

在二维平面上给定一个集合S

假如任意两个点x坐标不同,y坐标不同，同时不会出现三点共线的情况，定义能够包含全部点的最小多边形为ConvexHux,简写为CH(S)
定义它的边界为按照顺时针顺序开始的双向列表

暴力方式来解决convex hull问题

连接任意的两个点，构建一条边，然后看是否所有的点都在这条边的某一侧，如果都在一侧，那么它就是，否则不是。
一共有n个点，那么得到的边数为 $n^2$ ,同时要去检验所有的点是否在某一侧，那么总共的耗时为 $O(n^3)$

分治法解决方案

先按照x轴坐标给所有的点排序，这样的耗时为O(nlgn)
选定一个点的横坐标x，将所有的点分成两部分:CH(A)和CH(B),分别解决CH(A)和CH(B)，然后再合并C(A)和CH(B)

怎么去合并

同样的可以按照粗暴的思路来解决，就是去看所有的两个CH的所有顶点连线，然后看是否所有的点都在它的一侧。
注意：找到两边都只最大的y坐标来作为一条边会出现问题

以找到上边界为例，为方便做一条直线使得它刚好切割两个CH，连接两个CH的点 $a_1$ , $b_1$ ,这两点据选取的轴线x之间的距离在两个图形中均最近。它与选定的轴交于蓝线与选定实线轴交点处。

然后按照顺时针顺序，移动 $b_1$ 到 $b_3$ ，同样得到紫线与实线的交点

可以发现它在蓝线之下，这时候它是无法作为边的，于是b仍然取 $b_1$ ，同时a按照逆时针方向移到 $a_4$ ,交点为橙色线和实线

可以发现它比蓝线和实线的交点更高，于是它更适合，这个时候，再按照顺时针移动 $b_1$ 到 $b_3$

可以看到 $b_1$ 更加适合，于是a再逆时针移动 $a_3$

可以看到仍然是 ( $a_4$ , $b_1$ )仍然是最好的选择，至此a和b都找到了最佳的选择。算法实现找到上边界伪代码为：

 i=1
 j=1
 while (y(i, j + 1) > y(i, j) or y(i − 1, j) > y(i, j))
     if (y(i, j + 1) > y(i, j)) // move right  clockwise
         j = j + 1( mod q) //右边q个节点
     else
         i = i − 1( mod p) // move left  anti-clockwise 左边p个节点
return (ai, bj ) as upper tangent
复制代码

p+q=n

可以看到这种方式最多遍历完n个点，耗时为O(n)，整个过程耗时为:

合并之后如何删掉不该有的连线？

选取新增的上边接 $(a_4,b_1)$ ,类似的下边界 $(a_2,b_2)$ ,沿着 $(a_4,b_1)$ ，按照顺时针的方向，碰到边 $(b_1,b_3)$ , $(b_3,b_2)$ ，此时的点刚好到了下边界，然后沿着下边界 $(a_2,b_2)$ ，继续顺时针，知道 $a_4$ 即得到合并后的边界

使用分治法解决找到数组中所有元素数值大小的中间值

最明显的方式就是先排序，然后就直接获取了，排序算法的时间为O(nlgn)。而使用分治法能够达到O(n)的时间,思路如下。

Select(S, i) //i是要找的元素
 Pick x ∈ S  //选取一个元素
 Compute k = rank(x) //找到x在队列中的位置
 B = {y ∈ S|y<x}
 C = {y ∈ S|y>x}
 if k = i
     return x //x的顺序恰好和找的位置是相同的，直接返回
 else if k>i
     return Select(B, i) 
 else if k<i
    return Select(C, i − k)
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对于选择x来讲，如果选择的不好，比如总共n个，恰好选择的是第n-1个，然后是第n-2个，依次类推,总共需要n/2次，每次挑选原数的集合的时候也是O(n),那么如果x选取不好整个的时间为 $O(n^2)$ 。

如果选取x的值?

将S分成5列，这样它就是有多行数据，一共5列的二维数组，把每列进行排序，最大的元素在上头，最后x的取值为所有列中间取值的中间的值

方便画有行列交换

经过这么划分，可以看到

小于X的取值元素数量至少为：3(n/10-2)
大于X的取值元素数量至少为：3(n/10-2)

这里取 n/10的上边界。可以看到一共有 n/5 行，而有一半的行都会存在小于X的数，每行都会有3个，除了包含X的那一行和不足5个元素的最后一行

可以得到整个的耗时为

T(n)=\lbrace^{O(1)\space for \space x<=140}_{T(n/5)+T(7n/10+6)+O(n)\space for\space x>140}

所有的除法全部上取整

T(n/5) 是找到所有行中的中间元素所需要的时间；T(7n/10+6)表示迭代需要的时间，每执行完之后，剩下的数量机n-3(n/10-6);O(n)表示给所有列排序的时间，一列只有5个元素，显然是常量时间，一共有 n/5 列所有的就是O(n)

对于迭代的部分有

T(n)<cn/5+c+cn7/10+6c+O(n)
    <cn+7c+an-cn/10
复制代码

若7c+an-cn/10<=0

70c+10an-cn<=0
c>=70c/n+10a
当n>=140时，有
c>=c/2+10a
即c>=20a，成立
复制代码

有T(n)<cn ，此时总耗时为O(n)。

分治法(Divide and Conquer)怎么用？

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