在图像处理中，图像可以用不同域来表示和分析。

下面是几种最常用的域：

• 空间域 是指由图像像素组成的空间。
• 时域 是指图像随时间变化的域。对于动态图像，例如视频，时域表示图像帧随时间的变化。时域处理是指对图像序列进行操作，例如运动分析、视频压缩等。
• 频域 是将图像从空间域变换到频率域得到的表示。在频域中，图像被表示为一个二维复数矩阵，其中每个元素代表图像中某一特定频率分量的幅度和相位。

图像的空间域、时域和频域是三种不同的表示图像信息的视角，这三者之间可以相互转换。

1. 频域

图像的 频域 是通过 傅里叶变换 将图像从空间域转换到频率域而得到的。在频域中，图像的每个像素点都被表示为一个复数，其幅度表示该频率分量的能量，相位表示该频率分量的初始相位。

在空间域中，图像由像素值矩阵表示，每个像素值代表图像在该位置的颜色或亮度。在频率域中，图像由 频谱图 表示，频谱图上的每个点代表图像中特定频率的成分。图像的频率域与空间域具有互补关系，图像的任何信息都可以在空间域和频率域中找到。

频率域滤波的基本原理是将图像变换到频率域，然后利用滤波器对图像的频谱分量进行处理，最后将滤波后的频谱分量变换回空间域得到滤波后的图像。

在频率域中，图像的每个像素点都对应着一个频率分量。低频分量对应于图像中的平滑区域和整体形状，而高频分量对应于图像中的细节和边缘。

空间域和频率域的滤波器可以分为四类: 低通、高通、带阻、带通滤波器。

• 低通滤波器 允许低频分量通过，抑制高频分量。低频分量通常对应于图像中的平滑区域和整体亮度变化，可以用于 平滑图像 ，去除噪声和模糊细节。
• 高通滤波器 允许高频分量通过，抑制低频分量。高频分量对应于图像中的边缘和细节，可以用于 锐化图像 ，增强图像的边缘和细节。
• 带通滤波器 只允许特定频率范围内的信号通过，抑制其他频率范围内的信号。可以用于 提取图像中的特定特征 ，例如纹理或边缘。
• 带阻滤波器 抑制特定频率范围内的信号，允许其他频率范围内的信号通过。可以用于 去除图像中的特定噪声 ，例如摩尔纹。

2.  图像锐化的原理

在该系列的第三十一篇文章中介绍过图像锐化。锐化的目的是为了突出图像的边缘信息 ，加强图像的轮廓特征，以便于人眼的观察和机器的识别。

在空间域，可以用空间微分来实现锐化。微分算子的响应强度与图像在该点的突变程度有关，图像微分增强了边缘和其他突变(如噪声)而消弱了灰度变化缓慢的区域。

在频率域，由于图像中的边缘、线条等细节部分与图像频谱中的高频分量相对应，在频率域中使用 高通滤波器 能够使图像的边缘或线条变得清晰，从而使图像得到锐化。高通滤波器衰减傅立叶变换中的低频分量，让高频分量顺利通过，使低频分量受到抑制，就可以增强高频的成分。使图像的边沿或线条变得清晰，从而实现图像的锐化。

3.  傅里叶变换

空间域、时域和频域之间可以通过傅立叶变换(Fourier Transform)进行转换。傅立叶变换是一种数学工具，可以将信号从一个域变换到另一个域。

• 空间域到频域的傅立叶变换 ：将图像从空间域 (x,y) 变换到频域 (u,v) ，可以得到图像的 频谱 。图像的频谱可以反映图像的频率成分，例如图像中边缘、纹理等信息的分布。

• 频域到空间域的傅立叶逆变换 ：将图像从频域变换回空间域，可以得到原始图像。

先上基础的公式作为直观地感受，后续文章会做介绍。

一维连续傅里叶变换：

一维连续傅里叶逆变换：

一维离散傅里叶变换：

一维离散傅里叶逆变换：

二维连续傅里叶变换：

二维连续傅里叶逆变换：

二维离散傅里叶变换：

二维离散傅里叶逆变换：

图像傅里叶变换的计算通常使用离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）来实现。DFT 是傅里叶变换的离散化版本，它可以将图像离散化成有限大小的矩阵，然后使用矩阵乘法来计算图像的傅里叶变换。

对于二维离散傅里叶变换，f(x,y) 表示大小为 M*N 的数字图像。 表示 f(x,y) 的傅里叶变换。

在式中 f(x,y) 所在坐标系被称为空间域， 由 x = 0,1,2,···,M-1 和 y = 0,1,2,···,N-1 所定义的 M x N 矩阵常被称为空间域矩阵。 所在坐标系被称为频域，由 u = 0,1,2,···,M-1 和 v = 0,1,2,···,N-1 定义的 M x N 矩阵常称为频域矩阵。

下面的例子，展示了灰度图像经过傅里叶变换后生成频谱图的过程。

为了便于频域和频谱分析，在傅里叶变换后进行频谱中心化，即对调频谱的四个象限。频谱中心化后，中间最亮的点是低频率，属于直流分量，越往外频率越高。

#include 
#include 
#include 

using namespace cv;
using namespace std;

void myDFT(Mat src, Mat& dst)
{
    // 扩充边界
    int m = getOptimalDFTSize(src.rows);
    int n = getOptimalDFTSize(src.cols);
    copyMakeBorder(src, src, 0, m - src.rows, 0, n - src.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));

    // 创建一个双通道矩阵 planes，用来储存复数的实部与虚部
    Mat planes[] = {Mat_<float>(src), Mat::zeros(src.size(), CV_32F) };

    Mat complexI;
    // 增加一个通道，将两个 planes 合并，为了存储复数
    merge(planes, 2, complexI);

    // 进行离散傅立叶变换
    dft(complexI, complexI);

    split(complexI, planes); // 将双通道分为两个单通道，一个表示实部，一个表示虚部
    magnitude(planes[0], planes[1], dst); //计算复数的幅值，保存在频谱图 dst