李克正：数学教育的发展方向必须掌握在数学界

演讲 | 李克正（首都师范大学特聘教授）

感谢姜伯驹先生 （编注：姜伯驹先生为中国科学院院士、北京大学数学教授） 给了我这个机会，能在这个会上领略到很多专家的高见，并也做一个发言。

下面讲到的“数学教育”，明确的就是 中学 数学教育，因为我同时参与小学、中学、大学本科、硕士、博士各级数学教育， 深知关键问题出在中学阶段 。

对于中学数学教育我所参与的有：与一些中学合作，听课、交流讨论；讲课，有普及性的报告，也有专题课程；通过北京青少年科技俱乐部，指导中学生做数学研究，每年指导1-2名；为中学生写课外读物。

顺便说一句，我在少年时代就读到很多数学家写的中学生课外读物，水平都很高，如姜伯驹先生写的《一笔画和邮递路线问题》。我现在判断中学生的数学素质常凭他们所读的课外读物，高下立见。

花工夫特别大的是我们有一个“数学教育技术讨论班”，办了很多年，从中走出2名博士和20余名硕士。讨论班的成员将中学近年来的数学统编教材，包括各种版本的 （人教版、苏教版、北师大版、华师大版等等） ， 各年度的，从头至尾讨论了至少两遍， 对这些教材非常熟悉。讨论班成员写的文章都很严谨。

刚才王长平 （编注：福建师范大学校长、教授） 讲到了课程标准，他的一些看法，对于业内的有识之士基本上是共识，我就不重复了。 这里要讲的一点历史，可能不是在座的诸位都很熟悉的。

大约在20年前， 教育部开始制定“新课程标准”。当时主持数学方面的是几个中学教师，他们对于数学很少了解，但对于原有的课程做了很大的改动，砍掉了很多内容， 又增加了很多内容， 很明显会给中学数学教育造成极大的混乱。 数学界的一些关注教育的人士，姜伯驹先生、张英伯先生等， 对此提出异议， 经过艰苦的努力，有了一些发言的机会， 得以部分地阻止了“新课标”中的严重问题。与数学相比，其他学科如物理、化学、生物等方面的“新课标”问题要严重得多，就是因为没有专家参与抵制。

对于“新课标”中的改动，我觉得刚才王长平所说的“难”、“易” （所谓“避难就易”） 并非实质，真正的实质是内容的取舍，即“what”层面的问题， 而不是“how”层面的问题。如上所说， “新课标”在内容上的改动很大，甚至与在座诸位当年的中学课程内容都不可同日而语。

举例说，在初一代数中就没有了多项式的带余除法，那么后面的辗转相除法 、最大公因式和最小公倍式 、进一步的因式分解 、不可约多项式 、唯一因子分解定理 、高中的余式定理等等就更不可能有了。而有理式的分解就更不会了，所以很多大学生不会做简单的积分题如 ； 在线性代数的学习中困难就更大了，例如λ-矩阵的对角化需要反复做多项式的辗转相除，不懂带余除法的人没法学初等因子、相似矩阵、若尔当标准形等，甚至有些教科书将这些内容都砍掉了。诸位可以考一下你们的研究生，看看他们是否懂得余式定理。

再举个例子，中学的立体几何，核心就是三垂线定理，但现在没有了。而大学解析几何首先要建立空间坐标系，这是必须用到三垂线定理的。即使很好的教科书，在这一点上也只能糊弄，因为不可能将立体几何从头至尾讲一遍。而中学现在的立体几何是这样讲的：空间中有两条直线都和第三条直线平行，则“由观察可见”它们也互相平行，这样就得到一个定理 (叙述定理但无证明) ，然后就是做题了。每个部分都是如此。这样的课程还不如不学，因为“不怕不懂，就怕不懂还自以为懂”。

这种情况，大学教师多少可以看到一点，所以一些大学对新生补中学数学， 甚至补很多；一些高校教科书也在开头专辟一章讲中学数学。但问题早已严重到“ 补不胜补 ”的地步。中学生在数学上缺的“应知应会”太多，到了大学数学挂科就在所难免了。

近年来，数学对于国家发展战略的重要意义，已经逐渐成为社会共识。那么，鉴于我国目前发展的需要，应该让中学生学什么数学内容呢？这个问题需要很深的学问才能回答，而且即使是专家们也会有很多不同意见。但是我们可以退一步，专考虑“ 为了将来上大学需要学什么数学 ”， 这个问题不难回答，而且也不会有很多争议。

要紧的是， 数学教育的发展方向必须掌握在数学界 ，尤其要依靠那些不计名利投入中学教育的数学大师们。 否则无法避免现很多不良倾向的危害，如教育政治化 （讲“公平”， 反“歧视”等） ， 以及造假欺骗。