与“24点游戏”有关的两个数学问题

“24点游戏”是大家非常熟悉的数学益智游戏，它的游戏规则是：在除掉大小王之外52张扑克牌中任取4张牌，看能否在其间添加四则运算符号和括号得出24。其中A、J、Q、K分别代表数字1、11、12、13。

有两个与之相关的数学问题值是我们研究。从一副扑克牌中任取4张牌，一共有多少种可能的出牌组合？此其一。在所有可能的出牌中，有多少种组合是可以算出24的？此其二。

第一个问题是一个排列组合问题，对于所选的4张牌有以下5种情况：

①4张牌点数都不相同，共有 种组合。

②其中2张牌点数相同，另两张牌点数都不同，共有 种组合。

③其中2张牌点数相同，另2张牌点数也相同，共有 种组合。

④其中3张牌点数相同，另一张牌点数不同，共有 种组合。

⑤4张牌点数都相同，共有13种组合。

所以，所有的可能情况数为：

在旅美科普作家蒋迅与数学史专家王淑红最新出版的数学科普著作《数学都知道》第一分册中提到了一个更简洁的计算公式：

其中 即 。

如此简洁的一个公式是如何得到的呢？这需要用到组合数学中的 隔板法 。