灵机一动 | 第206期 完美五位数

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

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◎题友 @周渊明 的解答：

如abcd是一个p类数，那么dcba就是一个q类数，反之亦然，但是当d为0时，dcba不是一个4位数，这种情况要排除，所以N(p)-N(q)就是d=0的p类数的个数 当b=0时，a,c各有9种可能，共81个 当b=1时，a,c各有8种可能，共64个 …… 当b=8时，a,c各有1种可能，共1个 所以一共有1+4+9+……+81=285个

◎题友 @ZhiYong.Zhang--张志勇 的解答：

对任一P数abcd而言，若d不等于0，则dcba为Q数.因此为求N（P）-N（Q）,不必考虑这些数，因为它们互相抵消。 但是，形如abc0的P数没有相应的Q数抵消它；形如abc0的Q数也没相应的P数抵消它，然而并不存在这样的Q数。 所以答案等于形如abc0的P数的个数： 由条件可得，此时，1

◎题友 @包永林 的解答：

假设abcd是个有序排列的数组（a可以等于0），那么，由对称性可知这个时候的P类数和Q类数应该相等。又因为从P类数和Q类数的定义可知P类数中a不可能是0，Q类数中a可以是0，因此题干中的N（P）-N（Q）的值相当于在假设中的a＝0时的Q类数的个数。 在数组abcd中，a＝0时，b可以取1~9，分别进行讨论： b＝1时，c只能是0，此时d＝1~9，Q类数有9个； b＝2时，c可以取0和1，c取0时，d＝1~9，c取1时，d＝2~9，Q类数有9+8个； …… 以此类推， b＝9时，c可取0~8，Q类数有9+8+7+…+2+1个。 上述九种情况全部加起来，也就是a＝0时的Q类数一共有9²+8²+7²+…+2²+1²＝285个。 所以，对四位数abcd（1≤a≤9，0≤b,c,d≤9），N（P）-N（Q）＝285。