椭圆的面积

    椭圆是数学和自然界的基本形状。公元前 4 世纪由Menaechmus首次描述，它们已成为数学教育的标准元素。最值得注意的是，正如Johannes Kepler在 17 世纪发现的那样，它们非常精确地描述了行星轨道的路径。椭圆可以被认为是一个向一个方向拉伸的圆。在开始讨论椭圆的面积之前，让我们了解一些术语并了解什么是椭圆。

椭圆的定义

    椭圆属于圆锥曲线族，被定义为平面与圆锥成一定角度的交线。

椭圆显示为红色

    椭圆也可以定义为一条线，其中所有点与两个焦点的距离总和相同。这是一个复杂的定义，让我们浏览一下它并查看图片以确保我们知道它的含义。

    我们从定义椭圆的两个称为焦点 F1和F2 的点开始。然后我们有一个设定的距离，我们称该距离为X。在沿椭圆线的每个点A处， A和F1之间的距离加上A和F2之间的距离等于X 。

可以使用连接到焦点的字符串来绘制椭圆。字符串的长度等于 X。

    现在我们已经掌握了基础知识，我们将定义更多的长度来理解省略号。

标有多条线长的椭圆

    椭圆具有半长轴（长度定义为a）和半短轴（长度定义为b）。半长轴总是较长的，并且与两个焦点一致。还有从椭圆中心到焦点（定义为c）的距离。请注意，距离a出现了两次。它既是椭圆中心到半长轴末端的距离，又是焦点到半短轴末端的距离。看看你是否能确定为什么这是真的！提示：使用勾股定理和椭圆的原始定义，答案在本文底部。

    最后一个重要的价值体现了椭圆的特征：它的偏心率。我们将偏心率定义为c和a的比值。结果是

    我们可以将偏心率视为椭圆的“伸展”程度。偏心率为 0 的椭圆只是一个圆（焦点在同一点）。圆是椭圆的特例。一个偏心率为 1 的椭圆被无限拉长，呈现为一条线。

椭圆面积

    现在我们有了基本的定义，我们如何计算面积？前面提到圆是椭圆的特例，我们用下面的公式计算圆的面积：

    要将其概括为椭圆，我们需要考虑值r 的含义。椭圆实际上有两个不同的半径，一个用于半长轴a，一个用于半短轴b。事实证明，建立这种联系是计算椭圆面积所需的唯一步骤。

    如果您想要这个公式的具体证明，我建议您查看此处列出的两个证明。第一个需要一些微积分知识，但它是一个相当简单的积分。第二个证明依赖于一些几何定理和椭圆与圆之间的关系。