一周一定理No.6 毕达哥拉斯定理（勾股定理）

作者 | 孙志跃（微信公众号：好玩的数学）

有一个数学定理是每个人在学校都要学习的，这个定理在西方一般称为毕达哥拉斯定理，而在中国，我们习惯把它叫做勾股定理。因此，在本文中，我们有时会说毕达哥拉斯定理，有时又称其为勾股定理。

该定理一般被描述为： 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

如果设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c，那么可以用数学语言表达为： a²+b²=c² 。

有趣的是，虽然毕达哥拉斯及其学派发现了毕达哥拉斯定理，但是远在毕达哥拉斯出生前，这一定理便早已广为人知。

在哥伦比亚大学图书馆，现今仍保存着一份被命名为《普林顿322》的表。该表是从集市购得的泥版文书，因曾被一个叫普林顿的人收藏而得名，“322”是普林顿的收藏编号，但其最初来源不详。《普林顿322》实是一张表格，上面记载的文字属古巴比伦语，可推测所属年代在公元前1600年以前。它含有4列15行数字，经研究，人们普遍认为，这张表展现了部分毕达哥拉斯三元数组的推导过程。毕达哥拉斯三元数组是由三边均为整数的直角三角形的三边长组成，例如（3，4，5）和（5，12，13）都构成毕达哥拉斯三元数组，因为3²+4²=5²，5²+12²=13²。《普林顿322》的存在表明早在毕达哥拉斯1000多年以前，古巴比伦人就已经知道了毕达哥拉斯定理。

被称为《普林顿322》的巴比伦表。它是自古以来被研究得最多的一份数学资料。人们认为它是毕达哥拉斯三元数组的一个列表，制于毕达哥拉斯出生的1000年前。

古希腊几何学家欧几里德（Euclid，约公元前300年）在编著《几何原本》时，认为这个定理是毕达哥拉斯最早发现的，所以他就把这个定理称为“毕达哥拉斯定理”，并流传至今。

而关于勾股定理的名称，则来源于中国最早的数学和天文学著作《周髀算经》。《周髀算经》，原名《周髀》，是我国最古的一部盖天学说的天算著作。因书中含有算学内容，在唐代时被定为国子监算学科必修的十部算经之一。撰者不详。成书期据考证大约是西汉时期。书中开头就以周公与商高对话形式，给出了勾股定理的一个特例：“ 故折矩以为勾广三， 股修四，径隅五。 ”在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为"勾"，下半部分称为"股"。 商高这段话的意思就是说：当直角三角形的两条直角边分别为3（短边）和4（长边）时，径隅（就是弦）则为5。以后人们就简单地把这个事实说成“ 勾三股四弦五 ”。

后来周公的后代 陈子 把商高的“勾三股四弦五”的结论3²+4²=5²推而广之，说了下面一句十分重要的有历史意义的话：“ 若求邪至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘 , 并而开方除之，得邪至日。 ”此言同样出自《周髀算经》卷上，用现在的话来讲就是“弦²=勾²+股² ”。这实际上已把勾股定理的运用推广到了任意直角三角形。

由于勾股定理的内容最早见于商高的话中，所以人们又把这个定理叫作“ 商高定理 ”。

商高是公元前十一世纪的西周数学家，毕达哥拉斯（Pythagoras）则是公元前五世纪的古希腊数学家，比商高晚了500多年，所以一些人认为中国人比西方人早500年发现了勾股定理，并以此为自豪。但是如果将该定理的最早发现权归功于公元前1600年的古巴比伦人，那么我们则要晚上约500年。这样看来，就有些盲目自豪了。其实中国古代数学的辉煌成就早已被世界范围的数学家们所认同，不一定非得争第一才肯罢休。最近看一些外国人写的书，从字里行间发现他们对中国古代数学有很深的研究，这已经是最好的证明。

下面我们再来说说该定理的证明。

虽然毕达哥拉斯定理早就被毕达哥拉斯同时代及其之前的人们所熟知，但是第一个真正给出该定理的证明过程的却是比毕达哥拉斯晚约200年的欧几里得。欧几里得在其皇皇巨著《几何原本》给出了毕达哥拉斯定理的证明，他的证明可谓巧妙至极，该命题位于第Ⅰ卷第47号命题，因此一般称为命题Ⅰ.47。

【命题Ⅰ.47】在直角三角形中，斜边上的正方形面积等于两直角边上的正方形面积之和。

值得注意的是，欧几里得的命题并不是关于代数方程a²+b²=c²的，而是述及了一种几何现象，实则与代数形式等价。为了证明以AC和BC为边的两个小正方形面积之和等于以斜边AB为边的大正方形面积（如下图）。他采用了一个非常奇妙的方法，从直角顶点开始作线段CL，使之与大正方形的边平行，并将大正方形分割成两个矩形。现在，欧几里得只要证明一个显著的事实即可：左边矩形ADLK的面积等于以AC为边的正方形面积（黄色部分）；同样，右边矩形BELK的面积等于以BC为边的正方形面积（红色部分）。

【证明】 过点C作CL//AD交AB于点K，交DE于点L，连接CD，BF，则CL⊥DE，且CL⊥AB。

在△ACD与△AFB中，

因为 AC=AF，AD=AB，∠CAD=∠BAD+∠BAC=∠CAF+∠BAC=∠FAB，

所以，△ACD≌△AFB，从而△ACD与△AFB的面积相等。

接下来，由于△ACD与矩形ADLK有一条公共边AD，并且位于同两条平行线AD与CL之间，因此，矩形ADLK的面积等于△ACD面积的2倍。同理，因为△AFB与正方形ACGF有一条公共边AF，并且位于同两条平行线AF与BG之间，因此，正方形ACGF的面积等于△AFB面积的2倍。

从而正方形ACGF的面积与矩形ADLK的面积相等。

用同样的方法可以证明：正方形BCHI的面积与矩形BELK的面积。

至此，毕达哥的斯定理得以证明，因为：

S（正方形ABED）

=S（矩形ADLK）+S（矩形BELK）

=S（正方形ACGF）+S（正方形BCHI）

证毕。

1566年版《几何原本》中的命题Ⅰ.47。因欧几里得证明所应用的图形外形看起来像“风车”，所以人们常常将其称作“风车”图形。

我国古代对勾股定理的证明采用的是割补法，最早的形式见于公元3世纪三国时期吴人赵爽的 《勾股圆方图注》 。在这篇短文中，赵爽画了一张他所谓的“ 弦图 ”，其中每一个直角三角形称为“ 朱实 ”，中间的一个正方形称为“ 中黄实 ”，以弦为边的大正方形叫做“ 弦实 ”。

赵爽弦图的证法

如果以a、b、c分别表示勾、股、弦之长，根据大正方形面积（弦实）等于四个直角三角形面积（朱实）与小正形面积（中黄实）之和，得

化简整理，得

当然，勾股定理的证明方法不是只有以上两种，实际上有数百种之多，更多方法可见李迈新著《挑战思维极限：勾股定理的365种证明》一书，书中分门别类收集了勾股定理的365种证明方法。一些常用的证明方法可见好玩的数学之前的推文>> 勾股定理的这些美妙的证法你知道吗？

参考资料

1. 天才引导的历程：数学中的伟大定理，[美]William Dunham 著，李繁荣 李莉萍译，机械工业出版社，2018.9.

2. 数学的故事，[英]Richard Mankiewcz 著，冯速等译，海南出版社，2014.3.

3. 数学演义，王树和著，科学出版社，2015.3.