莱布尼茨
图灵所属学派的渊源可以追溯到莱布尼茨，即那位独立发明了微积分的哲学巨擘。在莱布尼茨对现代思维做出的诸多贡献中，最新奇的想法之一就是他提出的“通用语言”概念。按照他的设想，这种语言能够表示所有可能的数学和科学知识；它是一种类似于古埃及象形文字的表意字符，只不过这些字符对应的是数学和科学的“原子”概念。莱布尼茨认为，这种语言将“大大增强”人类的推理能力，作用将远超显微镜、望远镜等光学仪器。
莱布尼茨还设想了一种能够处理这种语言的机器，他称之为“推理演算机”。
不过，莱布尼茨未能有机会发明他的通用语言，也没能设计出这种机器。直到1879年，莱布尼茨的这一梦想第一次有望成为现实。当时，德国哲学家戈特洛布·弗雷格出版了具有里程碑意义的逻辑学著作《概念文字》（Begriffsschrift）。
在布尔尝试改进亚里士多德逻辑学的启发下，弗雷格发明了一种更加先进的逻辑系统。如今，哲学和计算机课堂上教授的逻辑学——一阶逻辑或谓词逻辑——只是对弗雷格的系统稍作了修改。
弗雷格逻辑学的主要创新在于，它更准确地反映了日常语言的逻辑结构。此外，弗雷格还率先使用了数量词，并头一次把宾语从谓语中分离出来。他还是如今计算机科学中一些基本概念的提出者，比如递归函数。
弗雷格的形式语言——他称之为“概念脚本”——由无意义的符号组成，这些符号则由定义明确的规则操控。语言只由解释来赋予意义，而解释是单独指定的。用杰出计算机科学家艾伦·纽厄尔（Allan Newell）和赫伯特·西蒙（Herbert Simon）的话来说，这让逻辑学演变成了“符号游戏”，一场“使用无意义的符号、基于特定纯粹句法规则来进行的游戏。”
正如哲学家罗素那句诙谐的名言：“数学或许可以被定义为我们永远不知道自己在谈论什么，也不知道我们说得对不对的一门学科。”
也许没有人料到，弗雷格的研究工作竟带来了一个意外后果：人们发现了数学基础中的漏洞。
例如，事实证明，数千年来被奉为逻辑严密性黄金标准的《几何原本》竟然充满了逻辑错误。由于欧几里得使用了“直线”和“点”这样的普通词语，因此在面对含有这两个词的语句中， 他（以及数千年来的读者）诱使自己做出了想当然的假设。
举一个相对简单的例子，在普通用法中，“直线”这个词表示，如果三个不同的点位于一条“直线”上，那么其中一点必在另外两点之间。但是，当你使用形式逻辑来定义“直线”时，“之间”这个概念也需要加以界定，而欧几里得恰恰忽视了这一点。一旦运用形式逻辑，这样的缺漏很容易被发现。
于是，这就引发了数学基础的危机。如果作为数学圣经的《几何原本》出现了逻辑错误，那么其他数学领域有没有呢？那些建立在数学基础上的学科，比如物理，又怎样呢？
好消息是，用于发现这些错误的逻辑方法，同样也能用来纠正它们。数学家开始全面重建数学的基础：1889年，朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）提出了算术公理；1899年，希尔伯特提出了几何学公理。此外，希尔伯特还提出了一个计划，试图将数学的其余部分形式化，并列出了形式化所应满足的具体要求，包括：
所谓希尔伯特计划，就是通过满足这些要求，来重建数学学科。直到20世纪30年代，这一直是一群逻辑学家的研究重点，其中包括希尔伯特、罗素、库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）、约翰·冯·诺依曼（John Von Neumann）、阿隆佐·邱奇（Alonzo Church），当然，还有图灵。
“在科学中，新事物只伴随困难出现。”
希尔伯特计划至少在两条线上得到推进。在第一条线上，逻辑学家构建出逻辑系统，以证明希尔伯特的要求是否可满足。
在第二条线上，数学家使用逻辑概念来重建经典数学。
历史学家托马斯·库恩（Thomas Kuhn）曾说：“在科学中，新事物只伴随困难出现。”在“希尔伯特计划”实施的那个年代，逻辑学处于不断创造与毁灭的动荡之中。一位逻辑学家建立了复杂的系统后，另一位逻辑学家可能会将之摧毁。
毁灭者青睐的利器是自我指涉的构建，即自相矛盾的陈述，表明它所依据的公理本身就存在矛盾。这种“说谎者悖论”的简单形式如下：
这个语句为假。
如果“这个语句为假”为真，那么这个语句为假；如果“这个语句为假”为假，那么这个语句为真，这就形成了自我矛盾的无限循环。
在数理逻辑领域，罗素头一次对“说谎者悖论”做出了重要运用。他指出，弗雷格的系统允许得出自相矛盾的集合：
设集合R由一切不属于自身的集合组成。如果R不是自身的元素，那么其定义决定了它必须包含自身；如果R是自身的元素，那么它就违背了自己的定义，即由一切不属于自身的集合组成。
这被称为罗素悖论，它被视为弗雷格系统的一个严重缺陷。
