一个机器人站在迷宫的起始位置，下图中的左下角。每一个位置，机器人有四个移动方向，左，右，上，下，当然，对于边缘情况，它的行动可能被限制。比如，在起始位置，它只能上移或是右移。如果某个移动让它碰到了障碍，那么它就被禁止往那个方向移动。在这些设置和条件的情况下，机器人如何能够通过自学习走出迷宫，也就是说，从迷宫的右上角出来？
这是一个典型的强化学习（reinforcement learning）的例子。它直接将机器人的行动和产生的结果联系起来，而不需要机器人学习一个复杂的行动和结果的关系。机器人基于行动的奖赏和惩罚来学习如何走出迷宫。当机器人的移动造成了撞到障碍，那么它收到惩罚-1分。当它到达一个开阔地带，那么它收到奖赏0分（因为是它应该做的事情，不奖不罚）。当它到达出口，那么它收到一个大大的奖赏100分。这种反馈就是鼓励机器人做某个动作，或是防止做某个动作的“强化”。
强化学习是从交互中学习，从而成功达到一个目标。学习者和决策者称作是智能体（比如例中的机器人）。智能体交互的所有外部一切称作是环境（比如例中的迷宫）。这些交互持续进行，智能体选择某些行动，环境响应这些行动并且呈现一些新的情境给智能体。同时，环境给出一些奖赏，表现为特殊的数值，而这些数值是智能体希望长期最大化的。一个对环境，包括奖赏如何确定，的完整说明，定义了一个任务，即一个强化学习问题的实例。
更确切的说，智能体和环境在离散的时间序列上交互，t = 0, 1, 2, 3, ... 在每个时间步t，智能体收到环境状态的某种表示 St ∈ S，其中 S 是所有可能环境状态的集合。然后智能体选择一个行动 At ∈ A(St)，其中 A(St) 是在状态 St 的所有可以选择的行动的集合。一个时间步之后，作为行动的部分结果，智能体收到一个数值奖赏 Rt+1 ∈ R ⊂ R，并且进入到一个新的环境状态 St+1。 智能体的目标就是最大化长期的累积奖赏（回报）。对于有限的时间序列，定义回报为时间步t之后的所有奖赏的和，目标就是使之最大。
而对于无限的时间序列，当 T = ∞，上述的回报会区域无穷大，所以需要引入discounting。如下所示的 discounted 回报，γ （ 0 ≤ γ ≤ 1）叫做 discount rate。
在强化学习的框架中，智能体根据环境状态的信号来做决定。那么，什么信息能构成环境状态的信号呢，这个就涉及到一个属性，叫做 Markov Property。通常情况下，环境状态的转换是和前面路径上的所有状态和行动相关的。如下所示。
但是，如果说状态信号的转换具有 Markov Property，那么，它的下一个状态只与当前状态和行动相关。这样就大大简化了模型。
一个强化学习的任务如果满足 Makov Property，那么它就叫做 Markov Decision Process（MDP）。
知道了这个属性，就可以计算有关环境状态的各种信息了，比如，state-action 的期望奖赏。
state-transition 概率。
state-action-next-state 的期望奖赏。
几乎所有强化学习的算法都涉及到估算 value functions（环境状态 states，或是 state-action 的 functions），而这些 functions 能估算智能体选择一个行动之后，它所处的下一个状态是不是比较好（how good）。而这个比较好（how good）定义为将来期望的奖赏（rewards），精确的说，就是期望回报。当然，智能体期望收到的奖赏和它采取的行动密切相关。也就是说，value functions 离不开特定的策略（policies，或
π
）。
一个策略, π, 是一个映射：从环境状态 s ∈ S 和 行动 a ∈ A(s) 到在环境状态 s 时采取行动 a 的概率
π(a|s)。有了这个知识，就可以定义一个环境状态 s 在策略
π 的 value，叫做 state-value function。
同理，定义一个环境状态 s 在策略
π 下采取行动
a 的 value，in state s under a policy π，叫做 action-value function。
上述的 state-value function 和 value-action function 能够通过和环境的交互的体验估算出来。比如，一个智能体遵照策略
π，且对每一个状态维持一个从这个状态收到的回报的平均值，当这个状态被访问了接近无限次之后，那么这个平均值就会收敛到 state-value vπ(s)。如果对一个状态采取的每个行动记录一个平均值的话，那么这个平均值就会收敛到 action-value qπ (s, a)。
value function 的一个基本属性是满足特定的递归关系。这个就是著名的Bellman Equation。
从下面的图示就很容易理解了。
解决一个强化学习问题，粗略的说，是找到一个策略能够从长远获得许多的回报。对于有限的MDPs，精确的定义最有的策略如下：Value functions 定义了策略的偏序关系。一个策略 π 比另一个策略 π′ 好，如果且只有对于任何的环境状态，它的期望回报大于 π′。也就是说，对于所有的
s ∈ S，
π ≥ π′ iff vπ(s) ≥ vπ′(s)。总是有一个策略好于或是等于其它所有的策略，那么它就是最有的策略，表示成 π∗。
同理对于 action-value，它的最优q∗。
对于 state–action (s, a)，在环境状态 s
采取行动 a 的期望回报一定是遵循最优的策略，所以，可以将 q∗ 按 v∗ 表达如下：
