专栏名称: 算法与数学之美

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如果我是数学老师，有学生问出这个问题，我肯定非常激动！

算法与数学之美 · 公众号 · 算法 · 2017-08-26 22:10

正文

问题：能不能定义一个数I，与 0 的乘积等于 1？

如果我是数学老师，有学生问出上面那个问题，我肯定非常激动！

我试着以高中生能理解的程度来解释一下我的答案。

（为了可读性，可能会牺牲部分严谨性。想认真学还要参考一下教材。）

回答分为两部分：第一部分是分析如果定义一个『与0的乘积等于1』的数会导致怎样的后果（实数毁灭）；第二部分是解释虚数单位是怎么出现的（使用『模法』）。

第一部分开始了呦

首先，对于问题的回答是：你当然可以定义一个『与0的乘积等于1』的数，但是这样会使得所有的实数都等于零，于是我们什么有趣的事情都干不了啦。

我们先来想一个问题：大家都知道，可是它们为什么相等呢？

这还不简单？因为啊！

这不是一个好答案，因为根据小数点的定义，，所以我们就需要进一步解释为什么以及为什么，于是问题变得更复杂了。

正确答案是：因为，所以.

切，那我也可以继续问啊！为什么就意味着？

因为我们就是这么定义两个分数相等的。

不妨先想一想分数到底是怎么回事：

一开始我们只有整数，然后我们把所有非零的整数召集起来，对它们说：『你们也可以当分母哟！』于是，我们就有了诸如和这样的分数。然而这个时候我们并没有对这些分数进行任何限制——没人说和就一定相等。

但是光创造数没有用，我们想做运算呀。现在什么规定都没有，那是啥？？

于是人们规定，对于两个分数和，如果，那么它们就相等。接着我们就可以定义分数的加法：分母相同的两个分数相加，分母不变，把分子加起来就好了！

这样一来，我们就有了可以做运算的分数（有理数）。更重要的是，当我们把原来的每个整数都当成时，有理数的运算和整数的运算是一致的。

这一点很重要。通常情况下，当我们说『整数集合包含1和2』时，不仅意味着1和2都是整数，而且这个『2』必须得是『1 1=2』的那个『2』。也就是说，我们平时使用的『整数』一词，不仅是指那些数字，而且还蕴含了数字之间的关系（即代数结构）。

所以，为了保证有理数包含整数，他们的运算必须一致，否则这个『整数』就不是我们通常说的那个『整数』了。

有了有理数之后，我们可以把它们扩充为实数。同样地，这里的『扩充』意味着有理数的代数结构不能改变。扩充为实数的方法我这里就不细说了。

现在再看之前的问题：如果定义了『与0的乘积等于1』的数会发生什么呢？

我们可以接着证明所有的实数都等于零，于是整数/有理数/实数的代数结构就被破坏了。所以，试图加入一个『与0的乘积等于1』的数，并不能扩充实数，反而会把实数整个毁掉……

（对学数学的同学多说一句：我们其实可以把环中任意一个对乘法封闭的子集作为分母集合，而对乘法封闭的子集显然是可以包含零的。但是只要包含了零，我们就只能得到一个等价类。具体可以看GTM73第三章第四节。）

第二部分开始了呦

那么虚数单位又是怎么出现的呢？

回答这个问题之前，我们先来做一个小小的计算：

没问题吧？好，看来大家都知道虚数单位是什么……好的，从现在开始，我们要假装自己不知道虚数单位，只知道实数。

接下来我们回顾一点点初中的知识：多项式加法、减法、乘法和因式分解。

是啥来着的……？

多项式加法就比如：，减法类似；

多项式乘法就比如：；

因式分解就比如：，这些大家都还记得吧=w=

顺便提醒一下：多项式除以多项式不一定是多项式，比如就不是多项式。

所以，两个（实系数）多项式做加法、减法、乘法之后仍然是（实系数）多项式。

（于是我们说实系数多项式构成了一个环，记作. ）

（啊，不要被『环』这个奇怪的词吓到，简单说来『环』就是一个可以做加法、减法、乘法的集合。整数、有理数、实数等等都是环。）

好的，接下来我们来讨论因式分解=w=

再看一眼之前的例子，

这里我们把一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积，而一次多项式显然不可能再继续被分解为两个多项式的乘积，除非其中一个是常数。于是，我们就说一次多项式是『不可约』的。

相对应地，可以被分解为两个次数更低的多项式的乘积，我们就说它是『可约』的。

那么二次多项式有不可约的吗？有，比如就不可约。（别忘了我们现在只知道实数！只知道实数！只知道实数！）

不可约！真是高冷！

没事，不可约，那我们就不要它了╭(╯^╰)╮

哼！好！不过啥叫『不要』？？

『不要』的意思就是：把所有的都换成零。

我们来看看这样会发生什么。举个例子，比如我们知道：

然后我们把所有高冷的都找出来：

接着，我们把高冷的换成零：

所以，当我们把换成零之后，运算结果就变成了：

诶嘿，是不是有点眼熟？再看看一开始复数乘法的例子：

哇！

我们发现，把所有换成零之后，多项式的乘法就跟复数的乘法一样了！

好神奇啊！这是巧合吗？？？

这不是巧合。

不妨设想一下，假如有个人只知道实数而不知道复数，我们如何向他解释是什么呢？

我们会说：就是一个平方等于的数，也就是说，

这不正是我们之前做的事情吗？

我们先在实数中加入了一个奇怪的『数』，记作，接着把所有都换成零。

所以，把实系数多项式环中所有换成零，就变得跟一样了，于是我们就可以得到复数（域）了。

复数域就是这么来的。（当然也可以直接定义，这里只讲代数方法。）

用数学语言来说，『把所有换成零』这个操作叫『模掉生成的理想』。

所谓『生成的理想』，在这里就是指一切的倍数，记作. 因为变为零，那么它的倍数肯定都变为零了嘛。所以所有的倍数，即生成的理想，都被『模掉』啦。

写成数学语言就是：

这个『模掉理想』的操作并不局限于. 实际上，我们把任何一个不可约多项式生成的理想模掉，都相当于是在原来的数域中加入了该多项式的根。

当然，我们一般用这个方法扩张有理数域而不是实数域，因为扩张一步之后得到复数域，就没法再继续这样扩张了（因为是代数闭域），而有很多有趣的扩张。

举个例子，不在有理数域中，而它是上的不可约多项式的根，所以我们如果想把加进中，我们就把有理系数多项式环模掉生成的理想，也就是：