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一.矩阵和空间的思想
我在这里，把线性代数归于高等数学的范畴，因为它的理论适用于很多高等数学求解的领域，例如多项微分方程组的求解，离不开它。方程组，有什么物理/几何的意义吗?有，就是一种映射关系。下图中，左图代表了2维到2维的一一映射，注意，Ax=0只有0解代表对于满秩矩阵A，[0]只能被映射为[0]。右图代表A不满秩，就是2维映射到1维的情况，一个线段映射到一个点，也就是存在一个"解系"。
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换个角度，由于线性映射常常就是线性变换，也就是映射回本身的集合映射，所以AX=B也可以看成是某种交点的性质。根据向量之间相交的情况区分，定解(直线或面交于一点，1和2中的交点)，无穷解(直线平行或面多面共线，这个线就构成解系。1种的红黄色重合线和3中的共线)，或者无解(平行或面没有公共交点，1中的平行线和4中的平行交线)。如下图所示。
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符号系统还有什么作用？在线性代数和微分方程里面的算子理论就是符号系统的一种形式。如果ax=b有解，那么x=(a^-1)*b，其中|a|=0，我们可以推出对于矩阵方程组Ax=B有确定解，,那么这个解集是x=(A^-1)*b。这里-1表示逆矩阵，*表示矩阵相乘，其中|A|!=0。这样的表示是正确的科学的，要做的事情就是看看A^-1如何表示和得到。|A|不是绝对值而是行列式。A此时称为可逆矩阵----这个相当于实数运算里面要保证分母!=0。是不是很相似？
可逆有什么性质：如果对一个矩阵做线性变换，使用一个满秩的矩阵，那么做变换的结果，秩不变。要注意，把矩阵当成算子的时候，乘法的交换律不一定成立。秩的加法律和乘法律r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)
二
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矩阵运算的物理含义，举例
如果把矩阵看成一个2维坐标系离散值的几何，那么：
1.矩阵加法A+B就是A的各个点作平移，平移的度量是B当中对应的点。
2.矩阵乘法A*B就是一种线性映射：如果A是x/y坐标系，B是y/z坐标系，那么结果就是x->z的映射。举个例子，有3个国家，A国有三个城市，B国有三个城市，C国有两个城市。他们之间的道路状况如下用矩阵表示
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那么从A国的每个城市出发经过B到达C的每个城市，各自有多少条线路?答案就是
A*B=[(2,1),(1,1),(2,1)]
3.我们深入的讨论一下"映射"的概念。举实数为例，y=ax是一个乘法映射，每一个x对应一个y。那么如果知道y求x呢?x=a^(-1)*y。这里影射函数f(x)=ax和反函数g(x)=a^(-1)x互逆。那么我们推广到N维坐标系空间里面就看到，矩阵就是一个N*N的坐标系映射。AX=B，把B看成Y，那么X=A^(-1)*Y。前提是A的范数!=0。我们构造的得到的A的1范数就是它的行列式。那么到底什么是映射?莱布尼茨说映射就是一组2元关系。在1维的时候表现为函数的形式f(z)=z，在多维的时候表现为矩阵的形式。1维的多次映射表现为函数的嵌套(gof)，多维的情形可以写成矩阵的乘法。当然，限制条件是，矩阵能表示的是一个离散值的集合。当然，方阵才有逆----方阵是维数不变的N->N的一一映射，所以可能有且只有一个反映射，或者没有反映射。N->M的不同维数映射无法得到反映射。
4.形式化的定义。我们如果把矩阵看成一个"算子"的话，矩阵的乘法就能看成一个状态机的推演，推算的过程就是一次算子入栈，反推的过程就是算子出栈。那么显然就能够理解(AB)T=B(T)*A(T)以及(AB)^-1=B^(-1)*A^(-1)，(AB)*=(B*)*(A*)。我们从伴随矩阵的性质AA*=|A|E得到A^(-1)=A*/|A|。矩阵左乘是行变换，右乘是列变换。把矩阵看成算子，同时可以把子矩阵看成算子，分块矩阵的相成和行列式求解也就很简单了。可以把小的矩阵当成一个数来看待。三角阵通过初等变换可以变成分块阵。
5.初等矩阵有3种，对应3种最基本的矩阵变换，也就是行列互换，行列数乘，一行/列数乘以后加到另一个行/列上面。初等矩阵都可逆。线性变换的结果是"相抵"的。一个矩阵总是能等于一个初等变换矩阵，并且逆矩阵的属性不变。对于可逆矩阵A，总有P1P2P3...PnAQ1Q2...Qn=E。或者说存在可逆矩阵P/Q使得PAQ=E。例如，如果A,B和A+B都可逆，那么A(-1)+B(-1)=B(-1)(B+A)A(-1)也是可逆的。
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