投资决策频率对长期投资结果的影响

量化先行者 · 公众号 · · 2021-06-17 13:50

正文

摘要

文献来源：van Loon R J M. Long-Term Investing and the Frequency of Investment Decisions[J]. The Journal of Portfolio Management, 2021.

推荐原因：本文分析了投资决策频率对长期投资结果的影响。我们推导出，长期投资回报是技能、交易成本和波动率的非线性函数。实证研究表明，当存在交易成本时，最佳投资决策的频率存在着一个上限，且美国股票和政府债券市场中的最佳频率有较为显著的差异。此外，当投资频率偏低或者偏高时，投资策略对所需的技能水平都有较高的要求。

1.简介

拥有一定投资决策技能的投资者，在执行决策时会面临交易成本。在这种情况下，投资者应以何种频率进行投资？过于频繁的交易可能带来交易成本的拖累，而较少的交易又可能无法最优化投资收益。此外，投资者是否需要具备某种水平的技能来实现收支平衡? 投资决策的频率如何影响长期投资结果的可能性?学术界对这些问题的研究较少，而本文将从投资技巧与交易成本的角度研究其对最优频率的影响。

在本文中，我们将从一个单一时期的投资决策开始，得出长期投资的风险和回报特征。此后，我们基于美国股票和政府债券市场进行实证分析，使用这两个市场的估计来得出产生目标回报所需的最低技能，并展示投资决策的最佳频率如何随技能而变化。

2.投资选择的风险和收益特征衡量

在分析投资决策的频率对业绩指标的影响之前，我们首先需要定义投资选择的风险和收益特征。假设对于单独的投资决策，在投资结束时可能会带来 $r_{∆t}^+$ 的收益，也可能带来 $r_{∆t}^-$ 的损失。取前者发生的概率为p，后者发生的概率为1-p。为简单起见，我们假设 $r_{∆t}^+=-r_{∆t}^-=|r_{∆t} |$ ，其中 $r_{∆t}$ 服从正态分布。

接着，我们考虑多个投资选择的情况。我们以几何收益率多次决策后的投资结果，假设投资决策有着独立同分布的关系，在此基础上，我们引入交易成本c。有：

$E[ln⁡(1+R)^n ] =$ 预期年化净几何收益率

$\sigma_g=$ 总收益的年化标准差

$n =$ 每年进行独立投资决策的次数

$c ̅=$ 平均交易成本

$var(\sigma_g)=$ 总收益方差

$var(c) =$ 交易成本方差

$covar(\sigma_g,c) =$ 总收益和交易成本的协方差

可以看出，预期复合收益是技能、波动性、成本和频率的非线性函数。上述方程的右边有三个分量。第一个部分是n个决策后的年化算术总回报，为成功率p、每年投资决策数n和市场年化波动率 $\sigma_g$ 的函数。第二个部分是成本对策略收益的影响。而第三个部分是净收益波动对几何收益的影响。它是投资策略净收益方差的函数，与成功率p无关。

3.实证结果

在图1中，我们首先提供了美国股票和美国政府债券市场的相关指标的估计值。这些估计基于不同的投资频率，并通过蒙特卡罗分析来模拟投资决策计算。在收益与成本上，我们基于道琼斯工业平均期货指数和美国10年期国债期货指数来估计收益与波动率，并选择收盘价的买卖价差来代表交易成本，时间跨度为2008年12月至2018年12月。频率上，设n为每年的投资决策频率，取值范围为2(两年一次)到52(每周一次)。对于每个频率n，我们每年随机选择n个等长的持有周期，最终会得到 $10*n$ 个不重叠周期构成的10年期总收益和交易成本的时间序列。在重复这个操作10,000次后，我们计算了平均交易成本和收益的方差特征，A组显示股票市场的结果，B组显示固收市场的结果。

在获得 $c ̅、\sigma、var$ 等参数后，我们取公式(1)的左边为0，便能计算出正向收益的策略的最低成功率 $p ̅$ 。图2展示了最低成功率与决策频率的关系。可以看出，期限管理的预期成功率并不高，也不会随着投资决策的频率变动而发生较大的变化。投资者在政府债券的多头和空头之间进行配置时，无论决策的频率如何，其成功率都必须超过51%。而在股票市场上，随着频率的增加，最小成功率p略有下降，然后再次上升。对于半年度频率的策略，所需的最小成功率p为54.1%。图2表明，当交易次数较多时，需要提高技能水平以抵消交易成本对策略收益的影响。而交易不足时，策略对技能水平同样也会有较高的要求。

类似地，公式(1)的左边可以设定为任何固定的水平，代表投资者寻求达到或超过的连续复合最低回报率。我们可以将预期回报率定义为Hurdle，然后重复前面描述的步骤。图3显示了当复合预期回报率分别为0%、2%、4%和8%时，不同频率下股票市场的投资决策p值。它表明了在相同频率下需要增加多少技能来匹配不同的回报率。结果表明，对于较低频的投资策略（每年或半年一次），想要达到较高的收益率，需要极高的成功率。

接下来，我们将注意力转向投资决策的最优频率，寻找在给定p的情况下，能使预期复合回报最大化的决策频率n。我们假设，技能不会随着频率而变化，即投资者在每个决策节点上都有概率获得正回报，而这个概率与决策的频率无关。在图4中，我们固定最低成功率p为55%，观察股票和固定收益市场投资决策的预期复合回报与频率的关系。在两个市场中，随着频率的上升，预期收益都呈现先上升后下降的状态。对于股票市场，这个最优值位于n=22，代表大约两周的频率。对于固定收益市场，这种最优存在于一个更高的频率，n=211，几乎到了日频的程度。这种明显的差异主要是由两个市场在波动率与交易成本之比的不同造成的，如图1所示，固定收益市场的波动率远高于股票市场。当技能为正且在频率上为常数时，可计算出投资决策的最优频率：

在这种情况下，投资决策的最优频率是技能、波动率和成本的二次函数。图4和公式(2)表明，最优投资决策频率可能存在一个上限：即使投资者拥有的正技能超过了最低要求的成功率，也可能存在过度交易和不足交易。而长期投资的成功需要投资者掌握一定的投资技巧并知道如何经常运用它。

考虑到假定所有频率的技能水平都不变的基本假设可能并不总是适用，我们可以想象两种情况。假设投资者在低频投资决策中(如每年或每两年)拥有较高的技能水平，随着频率的上升，其技能水平逐渐下降，反之亦然。这两种情况下的投资结果如图5与图6所示。在这两种情况下，技能参数和频率之间的关系在所示频率的40%到60%的区间内是线性的。可以看出，在图5中，最大化期望复合回报的频率要高于最大化技能水平的频率。这并不一定是一个直观的结果。而图6的相反实例中，期望复合回报在最高的频率下达到最大，此时技能水平也同样最高。

此外，图中收益的不对称性也值得我们关注。图5中的技能参数p是图6中的技能参数p的镜像，但相应的预期复合收益却是不对称的。技能高于50%时的正回报幅度小于技能低于50%时的负回报幅度，在高频时这种情况尤为明显。对于股票市场，n = 52时的预期复合收益率显示为+8.8% (p=60%)和-22.9% (p=40%)。这表明了回报的不对称性，也提醒我们需要谨慎估计技能参数p，高估技能的代价大于同等程度的低估技能所带来的收益。

4. 结论

本文分析了投资决策频率对长期投资结果的影响。我们从单一时期的投资决策开始，结合技能、成本和市场波动性等得出了长期投资的风险和回报特征。结果表明，长期投资回报是技能、交易成本和波动率的非线性函数。

在实证部分中，我们发现，即使是低频决策，在每单位波动有较高的交易成本的市场，投资策略所需的最低成功率也可能很高。通过对美国股票和美国政府债券市场的估算，我们得出了不同技能水平的这些市场的最佳投资决策频率。对这两个市场来说，即使投资者在这两个市场上的技能水平相同，最佳频率依旧有显著差异。预期复合回报最大化的频率不一定等于技能本身达到最大值的频率。由于技能、成本和波动性在一段时间内不是恒定的，因此投资决策的最佳频率也可能随着时间的推移而变化，这对如何构建投资过程具有重要的投资含义。