为什么1既不是素数也不是合数？

作者 | 大小吴

来源 | 大小吴的数学课堂

今天大小吴来和大家探讨一个问题：为什么1既不是素数也不是合数？

1 因数的个数

对于这个问题，我们可以参考六年级课本上对于素数的定义：

“

一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做素数（prime number），也叫做质数；如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫做合数（composite number）.

也就是说，如果我们以因数个数为标准对正整数进行分类，可以得到如下表格：

可以看出，1的因数只有1本身，所以它既不属于素数的范畴也不属于合数的范畴。这样就把正整数分为了1、素数、合数三类，用这样的方式解释“1既不是素数也不是合数”似乎也说得过去。

2 素因数分解的唯一性

实际上，1既不是素数也不是合数这件事需要用到“素因数分解的唯一性”来说明，也即 算术基本定理 ：

“

任何一个大于1的自然数 ，如果 不为质数，都可以 唯一 分解成有限个质数的乘积，即

这里

均为质数，其诸指数 是正整数.

这个定理从本质上讲指的是在对合数进行素因数分解时体现出的以下两种性质：“存在性和唯一性”。存在性指的是一个合数的素因数分解是必然存在的；唯一性指的是这种分解表示是唯一的。举个简单的例子，18是个合数，如果我们对它进行素因数分解，可以得到：

存在性和唯一性都是显然易见的，因为我们不可能把18分解成 或是 等其他的形式。

3 算术基本定理的证明

然而在数学上，对于一个定理我们不能以“显然成立”这样的话就把对定理的证明搪塞过去了，对于这件事我们一定要严格证明一遍。首先，在证明算术基本定理之前，我们需要用到两个 引理 ：

“

引理1：当 和 互素时，如果 能被 整除，那么 也能被 整除.

证明如下：因为 和 互素，所以 ，又因为 能被 整除，所以 为 与某个整数 的乘积：

由 可知，

将 代入，可得：

即

因为 必然为整数，所以 能被 整除。

“

引理2：如果 和 无法被素数 整除，那么其乘积 也无法被 整除.

对于此定理的证明用反证法，且需用到引理1：假设 能被 整除，因为 无法被素数 整除，所以 ，则根据引理1可知， 必然能被 整除。然而，这与 无法被 整除的已知条件矛盾。所以， 不能被 整除。

因此，当 都不能被 整除时，其乘积 也无法被 整除。

换句话说，当 能被 整除时，那么 或 或 或 能被 整除。（逆否命题）

这样，我们就为证明“分解素因数的方法只有一种”做好了准备工作。

接着，仍然用反证法，假设合数 有两种分解方法：

消去相同的部分，可得