灵机一动 | 第202期 手机密码

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

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◎题友 @邹家俊 的解答：

◎题友 @卞爱华 的解答：

最后出列的是1981号。联想到公式1+3+……+2n-1=n²，将所有人排成方阵。容易证明，第1次出列的是第1排，第2次出列的是对角线，这个过程将循环出现。可以看出，最后一个出列的，要么是左下角n²+1，要么是右下角n²+n+1。本题的情况是右下角44²+45。（配合上述图形理解）

◎题友 @乐乐 的解答：

最后出列的是1981号。我们把这个过程倒过来看，最后一次出列的是当时的1号，倒数第二次时能留到最后的是当时的2号，倒数第三次时能留到最后的是当时的3号，倒数第四次能留到最后的是当时的5号，……不难看出，倒数第2k次能留到最后的是当时的k^2+1号，倒数第2k+1次能留到最后的是当时的k^2+k+1号。回到本题，2016人可以经过89轮报数，初始位置为44^2+44+1=1981的人最后退出。

本附录将证明文中提到的推广到一般情形的结论：对于有n²个数的三角形数表，按照上述划数规则，最后一个被划掉的数是原三角形数表最后一行中间的那个数。

证明：根据三角形数表的排列律可知，第k行最后一个数为k²，第一个数（即最左边那个数）为(k-1)²+1=k²-2k+2，最中间那个数为(k²+k²-2k+2)/2=k²-k+1，最中间左边第一个数为k²-k。

对于有n²个数的三角形数表，第一次我们划掉的是三角形右边斜边上的数，共有n个，此时还剩下n²-n个数。如果将剩下的数重新编号，现在我们来考虑中间那一列的左边第一列的数，原来的编号为k²-k，因为删掉了三角形右边斜边上的数，重新编号之后为k²-k-(k-1)=(k-1)²，是一个平方数，所以第二次划数时应该全部划掉，共有n-1个。经过两次划数之后，还剩下n²-n-(n-1)=(n-1)²。剩下的数正好组成一个(n-1)²的数表，我们又可以按上述规则分别把三角形右边斜边上的数以及中间一列的左边第一列数给划掉，依此进行下去，最后将只剩下第n行最中间那个数k²-k+1。

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