序言
证明是数学的荣耀，也是其最具特色的特征。然而，许多数学家并不认为证明本身是一个有趣的话题。在美国，直到大学高年级，证明才被视为数学教育的一个重要部分，那时会开设“证明导论”课程。然而，通过保留证明的概念，我们阻止了学生了解数学实际上是如何运作的。在确定一个更谦逊但准确的书名之前，我曾考虑将本书命名为《数学是如何运作的》。它是关于证明的--不仅关于证明是什么，还关于它从哪里来，或许还有它将往何处去。
我们知道数学具有逻辑结构，也知道这个结构是在不断变化的，这反映了它在人类集体思维中的演变。通常，证明一个给定定理或发展一个给定理论的方法不止一种。往往最先被发现的方法并不是最简单的或最自然的，但旧方法的痕迹因为历史惯性或因为它们迎合了人类的感官或心理而留存下来。例如，几何学继续迎合人类的视觉直觉，即使它可以通过代数学或分析学的符号方法来完成。因此，由于意识到历史和逻辑问题，人类的数学经验得到了极大丰富，我们应该把数学作为一种丰富的经验呈现给学生们。我相信，即使是数学家，在看到证明在数学中的演变时也会受到启发，因为数学的进步往往是证明概念的进步。
本书的一个主要主题是逻辑与计算之间的关系，这里的“计算”被广泛地理解为包括经典代数。在古希腊，逻辑很强(尽管主要应用于几何)，而计算很弱在古代中国和古印度，计算占主导地位。当代数从古印度通过阿拉伯地区传人欧洲时，欧洲的情况也是一样的。接下来在17世纪，欧洲进一步迈向了无穷小代数，即微积分，它在接下来的两个世纪里主导了数学(和物理学)。莱布尼茨在未发表的著作中梦想将逻辑本身归约为代数演算。当布尔在1847年创造了我们现所称的布尔代数时，莱布尼茨的梦想开始成形，从而将逻辑的重要部分归约为真
正的计算。
但是，直到20世纪，数学的完整逻辑和计算的完整概念才被很好地理解。在1879年，弗雷格描述了适用于数学的逻辑，但逻辑和计算是数学概念而不仅仅是数学方法的观念直到20世纪20年代才出现。当这一切发生时，经过波斯特、哥德尔、图灵等人的工作，
逻辑和计算成了真正的数学分支--实际上，它们本质上是同一个分支。
不幸的是，逻辑和计算的发展在很大程度上与数学的其他部分隔离开，因此它们在数学界不如应有的那样为人所知。
①
"本书试图通过呈现主流数学中发展起来的逻辑来纠正这种情况。数学史可以被视为证明的历史，因为数学对证明提出了最极端的挑战，仅举几例:毕达哥拉斯学派发现无理数、16世纪遇到虚数、17世纪关于无穷小的争论，以及19世纪与无穷大的斗争。
本书的另一个相关主题是概念的发展，因为只有当合适的抽象概念和符号可用于表达证明时，证明通常才能被清晰地表述。这在代数学的发展中表现得最为明显，许多抽象概念起源于代数学，后来传播到数学的其他部分。但是概念的发展也是几何学和分析学的关键，现在看似显而易见的概念，如“面积”和“极限”，是在与未能精确捕捉其意图的临时概念进行长期斗争后才出现的。
事实上，数学概念的网络就像定理的网络一样复杂，我试着在本书关键的地方用黑体突出定理和概念。在前几章中，新的概念足够简单且不会频繁出现，可以非正式地定义，我在后几章中进行了更形式化的定义，特别是当几个新概念一起出现并相互依赖时。
我希望本书能为一般的数学受众阐明逻辑、计算和抽象在数学中的作用，从而使读者更好地理解证明的本质。本书与其说是关于证明的介绍、不如说是基础数学中证明的全景。我们将从逻辑和历史的角度重新审视所有数学家长期关注的多个问题，例如几何学、代数学和分析学之间的关系，以及它们看似不同的证明风格。我们将看到概念的直觉起源、对捕捉直觉的公理的追寻、从公理中产生的
新直觉，以及公理所揭示的几何学、代数学和分析学之间的联系。
例如，众所周知、希尔伯特在I9世纪90年代填补了欧儿里得几何公理的空白。
但鲜为人知的是，希尔伯特在这样做的过程中发现了儿何学、代数学甚至分析学之间的新联系我在第3章和第11章对这些联系进行了解释。
①韦伊(Weil1950)将逻辑描述为“数学家的卫生学，并非其食物来源”，仿佛逻辑学家是卫生工作者。
本书部分按时间顺序编排，部分按主题编排。数学领域是按时间顺序介绍的:几何学和数论、代数学、代数几何、微积分，等等。但有时我们会在按时间顺序转向下一个主题之前，长时间不打断思路地聚焦一个特定的主题。例如，第4章讲述了从古代到19世纪的代数学的故事，因为它大部分是独立的。接下来，第5章、第6章和第7章讲述了代数学对其他数学领域(如几何学、微积分和数论)的影响。
按主题编排素材也有助于编排证明方法，因为上面提及的不同领域中有不同的证明方法。如今，这些方法如此不同，以至于一个领域的人们常常无法理解另一个领域的人们。除此之外，我希望本书能够通过解释不同领域特有的证明方法来促进相互理解。它应该适合高年级本科生阅读，并且他们的老师也可能会感兴趣--本书或许可作为我之前两本书《数学基础》(Stillwell 2016)和《反推数学》(Stillwell 2018)之间的桥梁。
像往常一样，我要感谢我的妻子伊莱恩(Elaine)，她以鹰眼般敏锐的目光校对了原稿。我还要感谢马克·胡纳切克(MarkHunacek)和匿名评审们提出的有益建议和更正。
目 录
序言 iv
第1章 欧几里得之前 1
1.1 勾股定理 2
1.2 勾股数组 4
1.3 无理数 7
1.4 从无理数到无穷 8
1.5 对无穷的敬畏 11
1.6 欧多克斯 12
1.7 附注 15
第2章 欧几里得 16
2.1 定义、定理和证明 17
2.2 等腰三角形定理与SAS 19
2.3 平行公设的变体 22
2.4 再谈勾股定理 25
2.5 代数概览 26
2.6 数论与归纳法 29
2.7 几何级数 32
2.8 附注 36
第3章 欧几里得之后 38
3.1 关联 39
3.2 顺序 40
3.3 合同 43
3.4 完备 44
3.5 欧几里得平面 47
3.6 三角形不等式 49
3.7 射影几何 50
3.8 帕普斯定理和德萨格定理 54
3.9 附注 58
第4章 代数 60
4.1 二次方程 61
4.2 三次方程 63
4.3 作为"普遍算术"的代数 67
4.4 多项式与对称函数 68
4.5 近世代数：群 72
4.6 近世代数：域与环 76
4.7 线性代数 80
4.8 近世代数：向量空间 81
4.9 附注 85
第5章 代数几何 91
5.1 圆锥曲线 92
5.2 费马和笛卡儿 94
5.3 代数曲线 96
5.4 三次曲线 100
5.5 贝祖定理 102
5.6 线性代数和几何 104
5.7 附注 106
第6章 微积分 108
6.1 从列奥纳多到哈里奥特 109
6.2 无穷求和 111
6.3 牛顿的二项式级数 115
6.4 巴塞尔问题的欧拉解法 118
6.5 变化率 120
6.6 面积和体积 124
6.7 无穷小代数和几何 128
6.8 级数微积分 134
6.9 代数函数及其积分 138
6.10 附注 141
第7章 数论 144
7.1 初等数论 145
7.2 再谈勾股数组 149
7.3 费马最后定理 154
7.4 数论中的几何与微积分 157
7.5 高斯整数 163
7.6 代数数论 171
7.7 代数数域 174
7.8 环和理想 178
7.9 整除和素理想 183
7.10 附注 186
第8章 代数基本定理 190
8.1 在证明之前的定理 190
8.2 代数基本定理的早期"证明"及其漏洞 193
8.3 连续性和实数 195
8.4 戴德金对实数的定义 196
8.5 代数学家的基本定理 198
8.6 附注 200
第9章 非欧几里得几何 201
9.1 平行公设 202
9.2 球面几何 203
9.3 球面几何的平面模型 207
9.4 微分几何 209
9.5 常曲率几何 214
9.6 贝尔特拉米的双曲几何模型 218
9.7 复数的几何 222
9.8 附注 224
第10章 拓扑学 227
10.1 图 228
10.2 欧拉多面体公式 233
10.3 欧拉示性数和亏格 237
10.4 作为曲面的代数曲线 239
10.5 曲面的拓扑 242
10.6 曲线奇点和纽结 247
10.7 赖德迈斯特移动 250
10.8 简单的纽结不变量 253
10.9 附注 258
第11章 算术化 260
11.1 的完备性 261
11.2 直线、平面和空间 263
11.3 连续函数 263
11.4 定义"函数"和"积分" 265
11.5 连续性和可微性 271
11.6 一致性 273
11.7 紧致性 277
11.8 编码连续函数 281
11.9 附注 283
第12章 集合论 288
12.1 无穷简史 289
12.2 等势集合 291
12.3 与等势的集合 297
12.4 序形 299
12.5 用集合实现序形 301
12.6 根据秩对集合排序 305
12.7 不可达性 306
12.8 无穷的悖论 307
12.9 附注 308
第13章 数、几何和集合的公理 312
13.1 皮亚诺算术 313
13.2 几何公理 316
13.3 实数的公理 318
13.4 集合论的公理 319
13.5 附注 322
第14章 选择公理 324
14.1 选择公理和无穷 325
14.2 选择公理和图论 326
14.3 选择公理和分析学 327
14.4 选择公理和测度论 329
14.5 选择公理和集合论 332
14.6 选择公理和代数学 333
14.7 更弱的选择公理 337
14.8 附注 340
第15章 逻辑与计算 342
15.1 命题逻辑 343
15.2 命题逻辑的公理 345
15.3 谓词逻辑 350
15.4 哥德尔完备性定理 352
15.5 逻辑归约为计算 355
15.6 可计算枚举集 357
15.7 图灵机 359
15.8 半群的字问题 365
15.9 附注 370
第16章 不完全性 375
16.1 从不可解性到不可证性 376
16.2 句法的算术化 377
16.3 根岑对PA一致性的证明 380
16.4 算术中暗含的ε₀ 384
16.5 可构造性 387
16.6 算术概括 390
16.7 弱柯尼希引理 392
16.8 五大子系统 394
16.9 附注 396
参考文献 397
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享誉世界的数学史名师约翰·史迪威（John Stillwell）自《数学及其历史》后十年磨一剑，再出新作！聚焦证明的历史，时间跨度从从勾股定理到现代数学。
没有证明，我们就无法谈论真正的数学。本书从古希腊几何学时代讲起，涵盖代数、微积分、集合、数论、拓扑、逻辑等几乎全部数学分支中的证明故事，讲述了证明的演变及其在数学中的重要作用和启发意义。我们将看到欧几里得、康托尔、哥德尔、图灵等数学大师的精彩发现和发明。
这本书未出版前就在数学圈广为关注，英文版更是炒出300+的价格，是众多数学领域人士翘首以盼的经典之作！终于在图灵的打磨之下上市了！
《证明的故事：从勾股定理到现代数学》
作者：[澳] 约翰·史迪威（John Stillwell）
译者：程晓亮 张浩
证明是数学的荣耀，也是其最具特色的特征。然而，许多数学家并不认为证明本身是一个有趣的话题。在美国，直到大学高年级，证明才被视为数学教育的一个重要部分，那时会开设“证明导论”课程。然而，通过保留证明的概念，我们阻止了学生了解数学实际上是如何运作的。在确定一个更谦逊但准确的书名之前，我曾考虑将本书命名为《数学是如何运作的》。它是关于证明的——不仅关于证明是什么，还关于它从哪里来，或许还有它将往何处去。
我们知道数学具有逻辑结构，也知道这个结构是在不断变化的，这反映了它在人类集体思维中的演变。通常，证明一个给定定理或发展一个给定理论的方法不止一种。往往最先被发现的方法并不是最简单的或最自然的，但旧方法的痕迹因为历史惯性或因为它们迎合了人类的感官或心理而留存下来。
例如，几何学继续迎合人类的视觉直觉，即使它可以通过代数学或分析学的符号方法来完成。因此，由于意识到历史和逻辑问题，人类的数学经验得到了极大丰富，我们应该把数学作为一种丰富的经验呈现给学生们。我相信，即使是数学家，在看到证明在数学中的演变时也会受到启发，因为数学的进步往往是证明概念的进步。
本书的一个主要主题是逻辑与计算之间的关系，这里的“计算”被广泛地理解为包括经典代数。在古希腊，逻辑很强（尽管主要应用于几何），而计算很弱。
在古代中国和古印度，计算占主导地位。当代数从古印度通过阿拉伯地区传入欧洲时，欧洲的情况也是一样的。接下来在 17 世纪，欧洲进一步迈向了无穷小代数，即微积分，它在接下来的两个世纪里主导了数学（和物理学）。莱布尼茨在未发表的著作中梦想将逻辑本身归约为代数演算。当布尔在 1847 年创造了我们现在所称的布尔代数时，莱布尼茨的梦想开始成形，从而将逻辑的重要部分归约为真正的计算。
但是，直到 20 世纪，数学的完整逻辑和计算的完整概念才被很好地理解。在1879 年，弗雷格描述了适用于数学的逻辑，但逻辑和计算是数学概念而不仅仅是数学方法的观念直到 20 世纪 20 年代才出现。当这一切发生时，经过波斯特、哥德尔、图灵等人的工作，逻辑和计算成了真正的数学分支——实际上，它们本质上是同一个分支。
不幸的是，逻辑和计算的发展在很大程度上与数学的其他部分隔离开，因此它们在数学界不如应有的那样为人所知。本书试图通过呈现主流数学中发展起来的逻辑来纠正这种情况。数学史可以被视为证明的历史，因为数学对证明提出了最极端的挑战，仅举几例：毕达哥拉斯学派发现无理数、16 世纪遇到虚数、17 世纪关于无穷小的争论，以及 19 世纪与无穷大的斗争。
本书的另一个相关主题是概念的发展，因为只有当合适的抽象概念和符号可用于表达证明时，证明通常才能被清晰地表述。这在代数学的发展中表现得最为明显，许多抽象概念起源于代数学，后来传播到数学的其他部分。但是概念的发展也是几何学和分析学的关键，现在看似显而易见的概念，如“面积”和“极限”，是在与未能精确捕捉其意图的临时概念进行长期斗争后才出现的。
事实上，数学概念的网络就像定理的网络一样复杂，我试着在本书关键的地方用黑体突出定理和概念。在前几章中，新的概念足够简单且不会频繁出现，可以非正式地定义，我在后几章中进行了更形式化的定义，特别是当几个新概念一起出现并相互依赖时。
