出自Starrysky_4096的博客 原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_5e6614220101mls4.html
本科阶段学习的积分有1.不定积分2.定积分3.二重积分4.三重积分5.曲线积分6.曲面积分，这六种情况，或者称作六个层次。本质地说，积分就是无穷小加法。但在学习之初，我们都要经历一个盲人摸象的过程，先摸头，再摸身子，再摸四肢，也就是说在做点的积累，无法窥视其全身。而且，每一次从一个方面跨越到下一个方面的时候，常常会回出现一点点理解上的间断性，需要我们依靠信念跳跃过去，来学会这个本来连续的内容。这种间断性在三重积分和曲线积分之间显得尤为明显。再者，当我们摸完大象的全身之后，我们知道大象头什么样子，大象屁股什么样子，却依然无法想象出到底什么大象的本来面目是什么？或许是头上长着两条腿，屁股上呼扇这两片大耳朵的生物。也就是说当我们学习完毕以上六个积分后，还需要一个相对合理的整合过程。那么，我写这篇文章的目的就是帮助大家“跳跃”与“整合”。
从本质上讲，除了不定积分，其他的积分都是一个数（形式上也表示了得到这个数的过程）。这个数的意义是，“以数值代表的系统某性质（万物皆数），在整个系统内的总和”。还要介绍系统的概念，这是我在热力学里面学到的，没想到热力学的应用范围如此之广。系统：人为选取的一定范围内的物质。
由此可见，系统会占据空间，并且属于该系统的这一性质会随着空间位置的不同而不同。各个空间点的性质数值汇总，就得到了积分值。
那么要谈积分，首先就要谈空间。空间有一维、二维、三维之分。空间具有长度和方向。一维空间有两个方向，前与后；二维空间有360（或更多）个方向；三维空间有360*360（或更多）个方向。当然空间还需要长度来丈量其在某一方向的延展性。笛卡尔坐标系的伟大之处，就是它将千百万个方向，纯粹地归结为三个方向！！！以下内容都在笛卡尔坐标系内进行的，并将所有的方向归结为xyz三个坐标轴的方向。
空间谈罢，我们再说系统，系统存在于空间之中，所以会受到空间的限制，例如，三维系统不可能存在于一维空间中。如果说是标准的一一对应，那么，一维系统存在于一维空间中，二维系统存在于二维空间中，三维系统存在于三维空间中。如果不这么强求当然还可以是，一维系统存在于二维空间中，二维系统存在于三维空间中。（一维系统存在于三维空间中不提了,注意斯托克斯公式）
当然，系统存在，则我们关注的系统某性质就存在了。我们说万物皆数，在用数量来表示某性质的时候，我们就会发现，数分两种，标量和矢量。如果我们关注的性质只有数的多少而没有方向区分，我们用标量表示它；如果既有数的多少，又有方向之分，我们用矢量表示它。
空间、系统、系统的性质值。我们都分别介绍了。这时候就要层次分明了，空间有方向，有大小；系统有方向，有大小；性质值有方向，有大小。空间包含系统，系统包含性质值，当我们看到数值和方向的时候，就要问问自己，这是谁的方向？谁的大小？不能搞混。
如何求空间中的系统的性质值，是积分学的根本任务。
一维空间中只能容纳一维系统——线（直线、曲线），在笛卡尔坐标系中，空间方向、系统方向、性质值方向都只有前后两个方向，三个方向发生了合并，合并的意思是，我们沿着空间方向积分，就相当于沿着系统方向积分，沿着系统方向积分，就相当于沿着性质值方向积分。所以在一维空间中任何量都没有标量或者矢量之分。这就是为什么一维的定积分没有方向性，而到了二维的曲线积分和三维的曲面积分存在两种积分类型的原因（我们是从特例学起，进展到普遍却觉得陌生）。我们只需要知道x轴上各个点的性质值并把它们加起来就可以了，当然首先要理解困扰人类多年的无穷小和极限的概念和一些前人总结下来的公式和经验。需要注意这里的性质值最好用f(x)表示，而非y。因为在整个体系中y代表方向轴，普通的y=f(x)容易把我们搞混，而f(x)则可以清晰地表示出其本意，也就是关于x的某函数。（另外，如果一维空间本身是弯曲的，也就是说这个一维空间存在于上层二维空间里，那么它可以容纳曲线。这个是霍金教授考虑的问题，我们不需要）
二维空间可以容纳二维系统——面，当然还有一维系统——线（直线、曲线）。二维空间有两个独立方向，里的面系统有（且仅有）xy两个独立延展方向，性质值也就有两个方向，性质值的两个方向分别和系统的两个方向发生了合并，所以二重积分没有考虑被积函数的方向性。当我们针对二维空间里的面进行积分时，就要开始注意，系统上某点的性质取决于xy两个坐标的共同作用，更要注意的是，系统的xy坐标不独立，所以不能将xy两个方向上的函数分别积分再加和。而是进行积分运算时，我们假设先x后y，我们沿着x方向对系统积分时就要考虑到y对其的制约，所以沿途都是有关y的表达式并着重表现在了积分上下限上，而后进行y方向积分的时候就不必了，因为二者的制约关系上一步考虑了，所以我们只需要找到y的起点位置和终点位置就可以了。结果就是这个平面的性质值的和。所以，仔细注意二重积分中积分区域内x和y的关系，显得尤为关键。这就是为什么老师要求我们做题前要画积分区域的原因。
再来考虑二维空间里的曲线。我们知道，线的本质是一维的，在这里它之所以被放到二维空间中去考虑，是因为其本身发生了弯曲而无法放到一维坐标系那条笔直的x轴上。但是，它还是无法摆脱其一维性的本质。表明它可以用一个变量来表示，即用x表示y，或者用t表示x、y。系统是一维的，但千万别忘了，它处于二维空间中，所以其性质参数就受到了两个方向的约束，这样性质参数无法像二重积分那样在方向上与系统方向做到对应，这样一来，二维性质值就从一维系统的延展性里解脱了出来，我们考虑积分的时候，就需要把性质参数的方向考虑进去了。
首先如果性质参数本身没有方向性，我们就不用瞎操心了，只要将曲线回归本质，回归到一维空间，就可以算出来。如果性质参数具有方向性，我们需要进一步的考虑。这时候系统存在两套方向体系，分别是系统的延展方向和性质值的方向，他们各自有两个方向。我们的方法是，将性质值的两个方向拆开，这样各个部分都仅仅具有一维性，再各自在对应数轴上做定积分，最后由于其方向性，加起来就会得到最终答案。为了区分，系统的方向用xy表示，性质值用pq表示，px、qy分别同向。注意这里pqxy不是同一层次的，xy更具基础性，所以pq实质上也是用xy表示的。这也是我上文提到的系统和性质值的从属关系。把方向分析清楚之后，我们要在系统的xy方向上分别发挥系统的一维性。数值上依然按照回归一维的方法，将xy表示成t,分别回归到一维空间就很好计算了，也正是做了如此回归，我们的积分顺序要听从一元积分的规矩，下限小于上限，当我们以x表示y的时候，相当于把原曲线放在了平面直角坐标系中，此时y是x的函数，而x的取值范围是曲线在x轴的投影范围。
此外，如果不对系统的性质值做方向分离，而是统一考虑的话，也是可以的。如果这样的话，我们就需要把曲线的一维性升级成二维性，在根据上面我们讲到的，在二维空间中积分二维系统的性质值无需考虑性质值的方向。这就是格林公式在做的啊。格林公式讲的是：在某闭路曲线上进行积分，积分值和整个面域上性质值旋度的积分相等。你看，曲线是一维的，格林公式把它转换成旋度了，旋度可是二维的哦。这样转换完之后，在二维空间进行面积分不就是二重积分了吗？
讲到这里不免叹息，曲线的身世有些复杂，它本身是一维家族，却住在二维家族里面，生活的没有人家嫡系那么安稳。没事的时候还好，当要对它进行积分是，首先就要对他的身份进行判定，你到底是那一家的人？如果是一维的人，那你就回去；如果你是打算以后就呆在二维空间了，那你就给我改姓，改成我们二维空间的姓，也就是旋度。不要苛责他们对待曲线的态度，因为你平常做曲线积分的时候就是这么干的。事实上，以上两个处理曲线积分的方法有一个共同点，那就是通过精细的拆分与重组规避其方向性。
