交换礼物抽法其实不公平？数学家教你绝不失败的玩法

原文: http://pansci.asia/archives/117333

已获授权转载自 [遇见数学] ，在此特别感谢!

一年一度的圣诞节又快要到了，大家最期待或是最感困扰的事情之一应该就是交换礼物吧！如果是和朋友交换的话，自然是迈向新年之前最期待的事；但如果是在职场上和不熟的同事交换，脑中小剧场演了好多究竟要如何拿捏分寸才好真是十分困扰。

交换礼物是件既期待又害怕伤害的活动！图／By Kelvin Kay, CC BY-SA 3.0, wikimedia commons

西方基督教的圣诞节传统之一是秘密圣诞老人（Secret Santa），大家在匿名的情况下彼此不知道谁送谁什么礼物，只知道自己要送哪一个人礼物，所以这活动叫做秘密圣诞老人；但在台湾的交换礼物派对，普遍来说在大庭广众之下送礼物、拆礼物、恶搞礼物才是活动的高潮，很少玩匿名的秘密圣诞老人。

2016年11月英国数学家汉娜．弗莱（Hannah Fry）以及汤玛士．伊凡斯（Thomas Oléron Evans）出了一本新书，叫做《圣诞老人的存在是不争的事实》（The Indisputable Existence of Santa Claus）[1]，里头就有一章专门介绍交换礼物的数学。无论匿名与否，交换礼物其实有很多种抽法，不同的抽法会影响谁是你／妳的送礼对象。

接下来我们就跟着英国数学家的脚步来看看交换礼物的数学吧！

圣诞老人的存在是不争的事实。图／@ Amazon

第一种是最常见的方法， 一个一个轮流抽，如果抽到自己的号码再把纸条丢回去 ，算是一种基本常识，总不会有人希望抽到自己的礼物吧。可是如果最后一个人抽到自己的号码呢？这时候没有固定的解法，有可能随便和一个人换礼物，但这种解法除了尴尬之外，同时失去交换礼物的意义；或者是大家全部重抽一次，不过这除了麻烦之外也难保下一次不会再发生同样的事情，不论哪一种都有点棘手。

对数学家而言，交换礼物只不过是一种排列组合。来看看如果只有三个人交换礼物，抽礼物的顺序是如何影响谁送谁的机率！

现在有 A、B、C 三个人玩交换礼物，我们将所有抽签的可能性整理成以下的图表，抽到谁就表示要送礼物给谁。当A 第一个抽，有可能抽到 A、B、C 其中一个，将A 抽到自己的状态扣除，以X 表示，因此这条路线的机率是0，而这时A 抽中B 或C 的机率各是 1/2。接下来轮到 B 准备抽签，如果刚刚是 A 抽中了 B，那 B 可以抽 A 或是 C 机率各是1/2，不过这时如果 B 抽到 A 的话，那C 就只能自己和自己交换礼物，因此也等于交换失败（X）；如果 B 抽到 C，那 C 就只剩下 A 可以抽，机率是1。A 送 B、B 送 C、C 送 A的机率是 1/2 × 1/2 × 1 = 1/4。

那如果 A 一开始抽到 C 呢，换 B 抽的时候如果抽到自己就会丢回去重抽（X），所以只剩 A 可抽，机率为 1，换 C 抽的时候也只剩下 B可抽。因此 A 送 C、B 送A、C 送 B的机率是1/2 × 1 × 1 = 1/2。

从上图发现两条路线中送礼对象的机率竟然不同，C 送 B 的机率竟然是 C 送 A 机率的2 倍。就算不是 A 先抽也一样会发生同样的问题。最常见的交换礼物抽法，实际上会影响送礼对象的机率，很显然这种抽法并不公平，即使人数较多也是如此。

那如果换个方法大家一起抽呢？也就是一个一个抽却不当场打开纸条，大家一起打开这样就不会受到丢回去的纸条影响，可以把这样的抽法视为一种排列组合。但如果是这种玩法的话，愈多人玩交换礼物，就会有愈高的机率有人抽到自己的礼物，一般来说大约是高达63 %的机率有人会抽到自己的礼物[2]，即使参与人数不同也大约是这个数字。应该没人会有耐心这样慢慢玩，只好舍弃第二种大家一起抽的方法。

从以上的两种方法可以发现，玩交换礼物需要的是一种不会抽到自己名字的排列组合，在数学上称为错位排序（derangement）。

英国数学家在书中提出了第三种方法能够符合错位排序，又有以下的优点：程序透明（大家自己动手抽不是用电脑）、公平（每个人送给其他人的机率相等）、有效率（一次搞定，绝不会再抽第二次）、秘密（包括主持人在内，没人知道谁是谁的秘密圣诞老人，虽然这优点在台湾似乎不被认为是优点）。

方法像是下面的图在纸的上方写上自己的号码「你是 2 号」，下方则是写上「送礼物给 2 号」，大家分别写上属于自己号码如下：

再来搜集所有的纸条，将它们翻到背面并将顺序打乱，重新排列成一个直线。接着关键步骤来了，沿着中间的虚线剪开纸条。接着把纸张上半部（你是 O 号）向右移一个位置，最右边的纸条则是移到最左边，如此一来就完成了交换礼物的配对。纸条上面的号码代表圣诞老人是几号，下面的则是收礼物的人。最后大家在另外一张纸上填入自己的号码和名字，如此一来就知道该把礼物送给谁了。

第三种方法中不会有人抽到自己的号码没拿到礼物，而且只要抽一次就能完成，是一种简单而有效的方法， 唯一的小缺点是不会有两个人互相送礼。 英国数学家认为这未必是缺点反而是 Z > B 呢，看来这样的认知也是文化上的差异。如果不想在圣诞节也感受到职场上表面河蟹的气氛，可以考虑用第三种方法加上匿名。

话说第一种方法也不是完全没用，可以用在想要送给心仪的对象却又不敢直接送，人少少的交换礼物派对之下，不用默默祈祷也不一定要和主持人串通好，透过数学就能知道，如何让你／妳的礼物送到对方手上的机率增加。