蝶
赤橙黄绿千百色，东西南北伴芳眠。
梦里庄周游云雾，却见夏蝶迎秋山。
才子佳人泪执手，花丛翩翩续前缘。
作茧自缚何足惧，待得春风满人间。
——by 小编
正如开头诗所言，自古以来，蝴蝶就伴随着许许多多如梦似幻的意向，出现在各种文献中，其中最出名的莫过于庄周梦蝶，梁祝化蝶这类典故了。蝴蝶是文人们睡梦里的常客，是连接梦境和现实之间的纽带；抑或是才子佳人的寄托，在现实过于残酷的时候在来世中淡化悲剧色彩。古人擅长遐想，今人则擅长励志——毛虫破茧成蝶的蜕变过程，则为各种现代散文小说所津津乐道，并俨然
成为青春期成长的代名词
。或许很多读者在中学作文中都使用过“破茧成蝶”的素材。
不过蝴蝶可不仅仅只出现在文学作品中，也不只是中国人的专利。著名的“蝴蝶效应”最早则是由美国数学家兼气象学家爱德华∙罗伦兹
（Edward Lorenz，区别于物理学家洛伦兹Lorentz）
于1963年提出[1]。这一概念一经提出便引起轩然大波：在学术界，洛伦兹因他的这篇论文被誉为“混沌理论之父”[2]；在商业圈，蝴蝶效应经常被企业家们当作“细节决定成败”的理论信条；在娱乐圈，《蝴蝶效应》也多次作为科幻电影出现在荧幕上，留给观众热烈的讨论。
爱德华∙罗伦兹
以讹传讹的蝴蝶效应
那么蝴蝶效应到底是什么呢？或许多数读者都听说过这么一个比喻：“一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风”。这个比喻的目的是想告诉我们，任何一个看似微不足道的变化都可能引发巨大的连锁反应。
事实上上面这个广为流传的比喻有诸多不合理之处。当小编第一次看到这个解释的时候一直心生疑惑，既然蝴蝶在美国的地位并没有在中国那么高，那么为什么一定要用“蝴蝶效应”来描述这个现象，为什么不是蚂蚁效应、蜻蜓效应呢？既然蝴蝶拍拍翅膀就能引发龙卷风，那小编趴地上做几个俯卧撑，只怕会引起美洲大陆和欧亚大陆碰撞了。
很显然，“蝴蝶效应”的原本解释具有误导性
既然我们所经常听说的解释不那么正确，但“蝴蝶效应”这个词又的确是由罗伦兹本人本人创造的。那么罗伦兹到底是怎么想的呢？我们来看看他的这篇论文到底说了什么[1]。
奇异吸引子（Strange Attractor）——非线性系统的一大杰作
尽管论文[1]研究的是天气系统的变化，并且发表在了大气科学年刊上，但这篇文章的灵魂其实是一个三元一阶常微分方程组：
有微分方程基础的读者都知道，这看起来是一个很简单的方程组，怎么会有这么大的名气呢？我们先暂时不关心x，y，z具体表示什么，先看看当𝜇=28时，上述方程数值模拟的结果：
x,y,z的三维图，是不是有几分像蝴蝶？
所以，这才是罗伦兹命名“蝴蝶效应”的真实原因。
不过这么一幅蝴蝶般绚烂的模拟图，似乎应该是艺术家们的宠儿，这又是如何同神秘莫测的混沌理论拉帮结伙的呢？事实上只要我们把初始条件稍微修改一点点，我们立马就得到了完全不同的模拟结果
（代码可参见[10]，小编用了Java中的StdDraw包）
：
横纵轴分别是x和z，很像两只蝴蝶的相伴相随
“差之毫厘，谬以千里”，古人的智慧在数学方程式中得到验证，这大概也算是不同思想之间穿越时空的不谋而合了。
分歧理论——
混沌理论的命根子
小编在《世界到底是不是确定的？》（
传送门
）中提到过，所谓“混沌”就是《周易》中的“无极”状态，是混乱和不可预知的代名词。那么如此简单的方程组，为什么就具有不可预知的特性呢？答案：方程右边的非线性特性。
如果我们令v表示三维向量，v=(x,y,z)，那么我们可以把这个方程分解成线形和非线性两个部分：
一个线性微分方程组
（又称为线性系统）
的解是否稳定，也就是能否得到收敛解，完全依赖于矩阵A的特征值大小。若A的特征值的实部
（特征值有可能是复数）
全都小于零，那么这个方程一定是稳定的
（至少局部稳定）
。例如一维情况，v' (t)= -v(t)的解是v(t) = C*exp(-t)，当t无限大时，v收敛到0这一点，所以是稳定的；一颗老鼠屎打坏一锅粥，只要
有一个
特征值的实部大于零，那么很不幸，这个方程的解就只好发散了。
但若A的某个特征值实部为零，情况就复杂了。数学上甚至有一个专门的分支来研究这种情况，这个分支就是所谓的
分歧理论
（Bifurcation Theory）
。分歧理论将凝聚态物理、多体问题、自发性对称缺失、微分方程、微分流形、微分拓扑、群表示论、气候变化等众多前沿领域贯穿成一个整体，是现代数学的一大研究核心。文献[4]、[5]、[6]和[7]分别通过
方程
（主要基于朗道的平均场和序参数理论）
、
几何
（用流形手段研究哈密顿动力系统）
、
代数
（用群表示论研究解的对称性）
和
拓扑
（用拓扑度理论研究解的宏观结构）
四种不同观点看待分歧理论，充分体现了这一领域的多样性，供不同背景和有兴趣的读者参考。
通过简单计算可以发现，若在罗伦兹的方程中取𝜇=1，那么A的有一个特征值λ1正好等于零
（因此实部也是零）
，其他两个特征值λ2、λ3都小于零。更为奇妙的是，若
𝜇在
𝜇=1
附近变化，
λ1的符号也会随着变化。就好比婚后家庭的财产稳定性多半掌握在老婆手上，
𝜇在1附近的波动从而决定了整个方程的稳定性
，所以
𝜇=1称之为方程的
分歧点
（Bifurcation Point）
。
从这个角度看来，分歧点无非就是
使方程稳定性发生变化的模型参数值
，而分歧理论的主要目的，就是研究分歧点的性质。尽管文献[4]-[7]研究分歧理论的手段各不相同，但上述宗旨始终不变。
经过简单的计算我们可以发现，当𝜇<1时， v=(0,0,0)是唯一的稳定解；当
𝜇>1，
v=(0,0,0)尽管也是解，但不再稳定，与此同时出现了两个新的稳定解。不稳定解的个数一分为二，这就是分歧，更准确地讲叫做
次临界分歧
（Subcritical Bifurcation）
。用势能的观点能更好理解这一点
（把A(
𝜇
)想像成一个和
𝜇有关的势能函数
）
：
有了次临界，自然也有
超临界分歧
。读者们也许可以猜到，超临界和次临界是一对相反的分歧变换：
在数学家眼里，分歧图像则是这样的
（以超临界分歧为例）
：
三叉戟分歧
这看起来很像三叉戟，所以上面两种分歧又称为
三叉戟分歧
（Pitchfork Bifurcation）
。以此类推，我们甚至还可以定义四
叉戟、五
叉戟分歧等。不过数学家们只喜欢考虑最基本的情形，命名的任务就交给语言专家去完成吧。
混沌是怎么产生的？
事实上三叉戟分歧只是分歧点的一种类型。科学家们最感兴趣的分歧点类型，叫做
霍普夫分歧
（Hopf Bifurcation）
。
读者们先不要被这个高大上的外国名字吓到了。作为分歧点的一种，霍普夫分歧归根结底还是由于方程参数变化引起的矩阵特征值变化，只不过从图像上看来，方程的解从一点变成了一个
周期解
（又叫做极限环）
[8]：
随着参数变化，蓝色的极限环（周期解）出现又消失，潮起又潮落
和线性方程不同，
由于一般情况下非线性方程会有不同的解
（例如一元二次方程一般有两个解）
，每一个解都可能发生分歧现象。而大部分混沌的出现都是
由于非线性方程不同解在同一参数下发生霍普夫分歧
。这便是非线性系统复杂性的一个根本原因。
例如对于罗伦兹方程而言，当
𝜇从
𝜇=
1
（次临界分歧点）
增加到
𝜇=470/19的过程中，方程的几个解会同时多次发生霍普夫分歧产生极限环，随后极限环又消失。这个三维系统的周期性反反复复，于是就产生了第二部分中的奇特景象。关于具体的理论分析，文献[3]给出了非常精彩而详细的证明
（文献[3]是小编见过的最全面的一本偏微分方程专著，前面五章都需要极强的数学基础。若只想了解罗伦兹奇异吸引子的产生原因，可以直接跳至第六章）
。文献[9]是相对早期的推导，但不及文献[3]深刻。
值得注意的是，罗伦兹的方程是从流体力学中的纳维・斯托克斯方程
（Navier Stokes Equation）
的一个变种简化出来的。原方程如下所示：
看似复杂的方程实际上就是动量、能量和质量三个守恒定律
罗伦兹方程中的x,y,z分量，其实是把上面方程化成极坐标以后，根据大气环流周期性而确定的一种振幅[3]。如此简单的罗伦兹方程已经展现出了内在的复杂性，而原来
纳维・斯托克斯方程的复杂性则更是可见一斑。这就是为什么
纳维・斯托克斯方程在工科和数学领域都如此受关注的原因。
化混沌为清流
本文介绍的罗伦兹方程只是混沌理论的一个简单例子。很多很多其他例子，例如chua电路[11]、SEIR传染病模型
（例如麻疹）
[12]和破坏熵增原理的Belousov–Zhabotinskii化学反应[13]等等，在数学模型上和罗伦兹系统非常相似，都是三元非线性方程，这些内容会在以后继续介绍。另外，如果方程只是二元的，那么著名的
庞加莱-本迪克松定理
（Poincare-Bendixson Theorem）
保证此时不会有混沌现象的发生。这就是为什么三体系统会产生混沌，但二元系统则不会。
通过哈密顿动力学得到的三体问题的方程描述
混沌理论是研究复杂性的学科，这名字看起来似乎就容易让人敬而远之。但通过本文的介绍，希望读者们都对混沌理论的核心思想有了大概的认识。一言以蔽之，混沌理论的基础是分歧理论，而分歧理论的研究中心是
方程解的稳定性是如何发生改变的
，其数学本质是
方程
参数变化诱使矩阵特征值的符号发生变化
。
科学发展到今天，一方面新的分支在不断出现，另一方面不同分支之间交流之间相互交融，这一点像极了罗伦兹混沌的产生过程——霍普夫分歧不断出现与交互赋予了它蝴蝶般的神秘色彩。不过万物皆有根，就好比混沌理论的“根”栖息于矩阵特征值中一样，如果我们能找到不同分支的共同“根”，这将非常有助于对现代科学的全面理解。
作为结尾，送大家诗一首：
混沌寻根
雨蝶挥翅踏春去，三月扶摇围城来。
