2024 年 9 月 24 日，在法国巴黎，联合国教科文组织总部开启了全球对于中国数学家刘徽的纪念活动。作为本次活动的一部分，国内也进行了相关纪念，并称刘徽为中国古代数学理论的奠基者。
“九章流徽——中国古典数学理论的主要奠基人刘徽”专题展
作为中国古代最重要的算学家之一，刘徽遍注《九章算术》诸术，并论证其算法的正确性，又在天文学立表测影的基础上作《重差》以补《九章算术》勾股章之不足（后命为《海岛算经》），成就卓越。数学史家郭书春先生赞其为“古代世界数学泰斗”。不过，由于在正史中没有传记，学界历来对刘徽的数学成就和科学精神谈得较多，但对其生平事迹谈得较少。
那么，刘徽生平究竟怎样？为什么地位如此重要但留下的记载如此稀少呢？这又与其成就和品格有何关系呢？本文试图在既有研究基础上利用现有材料对其生平事迹做进一步勾勒。
刘徽，三国曹魏间人，生卒年不可考，我们唯一知道的是其在魏景元四年（263 年）注解了《九章算术》。大观三年（1109）宋廷颁布的“算学祀典”中有“魏刘徽淄乡男”的记载，近人严敦杰先生（1917-1988）据此最先推测刘徽是山东省淄乡人。在此基础上，郭书春进一步推测淄乡在今山东省邹平县内，并且刘徽是汉文帝刘恒之子梁孝王刘武五世孙菑乡侯之后。从现有材料和各种间接证据来看，这一推测有其合理性。
刘徽注《九章算术》自序云“徽幼习《九章》，长再详览”，可见其从小就学习中国古代算学经典《九章算术》。刘徽自序云“周公制礼而有九数，九数之流，则《九章》是矣。” 即认为《九章算术》是由周代九数（即《周礼》“九数”）演变而来，这一看法与郑玄对《周礼》的注解完全一致，可见刘徽实服膺郑玄之说，儒家经典及其郑玄注也是刘徽学习的教科书。
根据郭书春、周瀚光等学者的研究，刘徽注中明确引用的有《墨子》和《考工记》，间接引用的先秦著作则有《周易》《周礼》《老子》《庄子》《荀子》《管子》等，引用的汉代著作也有《淮南子》《论衡》等篇，可见其读书之博。而且刘徽作注的用词和推理模式与当时竹林七贤之一的嵇康（224-263）以及何晏（？-249）、王弼（226-249）等魏晋名士高度类似，可见其深受当时魏晋玄学辩难之风的影响。如果考虑到刘徽极高的数学成就，我们可以推测他其实与嵇、何、王等同属名士。
刘徽作注的景元四年，曹魏政权早已名存实亡落入司马氏之手，而且距离司马炎（236-290）称帝仅剩两年。唐初李淳风（602-670）将刘徽标识为魏人，但入晋以后又没有留下任何关于刘徽的文字记载，因此十多年前笔者与法国林力娜（Karine Chemla）教授在交流中就推测刘徽很可能忠于汉魏，而没有为司马氏服务，从而导致其不入正史。
按中国古代王朝新立之初，往往需要制礼作乐以彰显其政权的合法性。与刘徽同时代的荀勖（？-289）精通数学、音律、度量衡，于泰始元年（266 年）为司马氏修订律令度量衡，以精准的黄钟之声为晋朝的合法性加持，被加授光禄大夫，《晋书》亦有传。
与荀勖相比，刘徽在天文学、数学方面才能显然只高不低，但却没有为司马氏所用。刘徽自序云“算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子”，又云“当今好之者寡，故世虽多通才达学，而未必能综于此耳”，此两句话一方面显示出刘徽对其数学水平的高度自信，另一方面又透露出其遗憾或不满未受朝廷重用之情。
刘徽《重差》第一问望海岛，其岛高近 1800 米，按郭书春的推测应实为泰山。自古以来，泰山具有政治象征的含义，历代帝王往往登泰山封禅。故刘徽不可直言测泰山，而避称测海岛，隐约有政治含义。又刘徽注《九章算术》两处提到晋武库中王莽铜斛，并以之来核验其所得之圆周率。以往学界多以此为晋朝武库，也有人认为刘徽实际考查过铜斛，之后莫绍揆（1917-2011）提出此实为晋王武库之说。其实，王莽铜斛是国家法定量器，亦具有政权的象征意义，由于与司马家关系不近，入晋以后刘徽无可能接近。魏甘露三年（258年）起，司马昭（211-265）多次受封晋王、晋公而坚辞不受，其时具有象征意义的王莽铜斛很可能已经被移入晋武库。以此论之，刘徽以数学来核验铜斛，实亦有政治意味。刘徽之后，祖冲之（429-500）也做了类似工作，但祖氏是刘宋朝廷官员，其作为显然为官方所认可。
由此可见，以重差之术测望泰山、以圆周率核校王莽铜斛实均有对司马政权不满之意，是以入晋以后便再无任何关于刘徽生平事迹的文字记载。
按今本《九章算术》分作九卷 246 问，现代数学史研究者郭书春、李继闵、林力娜等均论证了其并非数学问题集，而是具有以算法为中心的特点。然而，《九章算术》并无对算法正确性的说明，例如对于圆面积仅云“半周乘半径为积步”（即相当于圆面积 S=C/2×D/2），刘徽注则补充了大量关于算法正确性的论证。
数学史家林力娜认为演绎证明既非古希腊的特产，也不是证明的唯一形式，遂认为刘徽注实为中国数学的证明。逻辑学家鞠实儿则提出广义论证理论，亦认为刘徽注是中国古代的逻辑论证。美国斯塔佛大学内兹教授（Reviel Netz）则比较了刘徽与古希腊数学家阿基米德。
刘徽自序有云“析理以辞，解体用图”。郭书春认为刘徽以“率”解析算法，数学家吴文俊（1919-2017）则认为刘徽以“出入相补”原理论证几何公式。尤其是，在《九章算术》割圆术证明圆面积算法、阳马术证明阳马和鳖臑体积算法、开方术证明筹算开方法等注释中，刘徽运用了近于无穷分析的方法，展现了极高的逻辑思维能力和精益求精的学术品格。
以往吴文俊、李文林等先生认为总体而言中国与古希腊数学分占算法与演绎证明的两端。以刘徽注视之，我们可以说中国数学证明往往出现在注疏而非经文之中，从而容易被忽略。唐初李淳风等奉勅整理汉唐算经，把刘徽注作为《九章算术》标准注释选入，参以祖冲之等人的注解，并以之为国子监算学馆的教科书，可见李氏高度认可刘徽的数学成就。由此可见，作为为《九章算术》算法提供全面证明和论证的学者，刘徽独步数学的地位在唐代就已经被确立了。
《九章算术注》
刘徽的学问品格是与其精神世界分不开的。刘徽尊重他人的贡献，其自序云“是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注”，就是明确说明其注解中有包含前人的内容，其注中亦常引旧说。为此，钱宝琮（1892-1963）、严敦杰、郭书春等学者进一步分析出刘徽中“采其所见”的具体内容。
刘徽亦十分相信后学。其计算球体积时，设计出牟合方盖而未能计算出其体积，便云“敢不阙疑，以俟能言者。”此问最终被祖冲之父子解决。显然，刘徽不仅具有高度的自信，而且对于自身的数学成就有十分清醒、准确的认识。
刘徽勇于批评和指出他人的错误。例如对于传统的周三径一之率，刘徽直接说“世传此法，莫肯精核，学者踵古，习其谬失。”其批评张衡关于球体积计算只考虑阴阳学说，则直云“衡说之自然，欲协其阴阳奇耦之说而不顾疏密矣。虽有文辞，斯乱道破义，病也。”
中国古代做数学用筹算，魏晋时一度形成了浮夸的风气，以用算筹多来显示数学水平高，失去了本义。刘徽径云“或用算而布耗，方好烦而喜误，曾不知其非，反欲以多为贵”。为此，刘徽在方程章提出“虽布算不多，然足以算多”的简约原则，并以身示范作方程新术。笔者认为此举就是要尽最大可能发挥筹算的功能（类似于现在编程时选择占内存空间最小的算法），这一问题最终被南宋秦九韶（1208-1268）《数书九章》（1247）中以算图解决。从世界数学史的角度看，文本化和符号化是古代数学通往现代数学的必经之路。就此而言，刘徽的思想可谓这一进程的先驱。
总之，我们可以推测刘徽出生于曹魏间，或由于家庭背景的原因自小便受到了良好的教育，学习了诸子百家与《九章算术》，并且在魏晋玄学的影响下成长为一代名士，完成对《九章算术》的注释并作《重差》“缀于勾股之下”，取得了高度理论化的数学成就。其为人实事求是、敢于直言是非，又尊重他人、相信后学，对自己的成就有高度自信和清醒认识。入晋以后，或由于不满司马氏政权、拒绝与其合作，从而正史无传。
刘徽的生平事迹在中国数学史上极为少见，也许只有一千年后的金朝大儒李冶（1192-1279）可作一对比。其时元朝皇帝忽必烈（1215-1294）召见李冶，并授翰林学士。李冶以病辞官，隐居不仕。其去世之前，语其子克修云“吾平生著述，死后可尽燔去。独《测圆海镜》一书，虽九九小数，吾常精思致力焉，后世必有知者，庶可布广垂永乎”。所谓《测圆海镜》实与刘徽《重差》一类，都是属于《九章算术》勾股章下的数学发展，而刘、李两人都有对自己学问高度自信以及不伍于世流的特点，可谓隔代知音。
作者丨朱一文 科学技术史博士，中山大学哲学系教授、博士生导师，逻辑与认知研究所专职研究员
责编丨林林、丁峥
审校丨徐来
本文封面图片及文内图片来自版权图库
转载使用可能引发版权纠纷
原创图文转载请后台回复“转载”
