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拙作 《毕达哥拉斯在铁匠铺称锤子？看似科学的故事哪里错了》 7月11日在《知识分子》公众号发表。文章发表后，读者热烈留言讨论，大家的留言堪称是对这一话题的二次创作，甚至比正文更有趣。在此既要感谢赞同方，也要感谢反对方的留言，正是由于双方意见的存在，才使得评论区精彩纷呈。

有的朋友不满意我的文章，觉得很容易让受众对毕达哥拉斯本人产生误解，对此我很理解，毕竟学界连毕达哥拉斯这个人是否存在都有尖锐的不同看法，这个问题我没有研究过因而不持任何意见。我所能确认的是这个挂在毕达哥拉斯名下的故事与声学原理不符，实际上，不管我写不写文章，这个传说与声学的相悖都是客观存在的，国王穿没穿新衣和小男孩嘴欠不欠没有关系。

有的朋友建议作者实际敲一敲，打打铁。 这个建议非常好，我在网上搜到了真正打铁的视频，同时做了几个模拟实验 （后面会介绍实验的结果） 。打铁的声音确实是很好听的，而且打铁对音乐家创作的影响也非常深刻，这个话题很值得聊聊。

有位朋友批评这篇文章有点无病呻吟，闲的，这个批评很中肯。的确，如果仅仅是考证或证伪一个年代久远的传说，确实有些无聊。真正有现实意义的、 影响到我们今天科学技术进步的、值得仔细讨论的，是科学的非神圣属性： 把科学神圣化、神秘化，对人们的学习探索与发现，实质上是一种阻碍。这篇文章会用较大篇幅讨论这个问题。

笔者小时候在中关村小学上学，学校操场外面的小松树林里，有工人师傅打铁。孩子们课间都着迷地趴在篱笆上看，上课铃响了也不愿回教室。

打铁一般是师徒两人，徒弟抡大锤，师傅一手用火钳夹着烧红的工件，另一手拿小锤。很多时候，师傅在徒弟砸下两大锤之间，用小锤在铁砧上轻轻地敲一敲，这表示希望徒弟均匀地锻打工件。有时候，师傅希望徒弟在某一个地方使劲砸一砸，就会在两大锤之间敲打工件上的对应部位。

打铁的声音很富有音乐感，除了节奏，大锤和小锤打出来声音的音高也是不同的。通常大锤打出的声音比较闷，是 “噗、噗” 的感觉，而小锤打出的声音比较尖锐，是 “叮、叮” 的感觉。

既然打铁富有音乐感，为什么毕达哥拉斯不能通过称量不同铁锤的重量确认声音和谐的数量关系呢？ 原因很简单，因为锤子敲打的声音不光和锤子的重量有关，还和锤子的形状、尺寸、比例等有关，同时还和打在什么地方有关。大锤打在烧红的工件上，工件相对比较软，因而产生的冲击脉冲时间比较长，从而抑制了冲击脉冲里的高频成分，听着就比较闷。

大家如果仔细看视频，就能看到师傅手中的小锤更有说服力：当小锤打在铁砧上，冲击脉冲时间很短，因而高频成分丰富，听上去就是 “叮、叮” 的；而当小锤打在工件上，冲击脉冲时间变长，高频成分少，因而听上去也和大锤一样是 “噗、噗” 的。

笔者做了如下视频中的模拟实验：

大家可以看到，当锤子砸在铁砧上的时候，打出的声音比较清脆。而当锤子打在比较软的铝片上时，声音就沉闷了许多。

打铁虽然不会通过简单称重铁锤告诉人们声音和谐的 “秘密”，但却会深刻地影响音乐家的美学感悟。和打铁有关的几个比较著名的音乐作品包括威尔第歌剧《游吟诗人》中的《铁砧合唱》 （Anvil Chorus） 和约瑟夫·斯特劳斯的《铁匠波尔卡》 （Feuerfest Polka） 。

有的读者可能会说，就算传说中 “称重确定声音和谐” 这一说法不符合声学原理，但这只是一个细节，不能整体否定毕达哥拉斯发现的结果吧？这要怪这个传说的作者，如果他当年不在这个美丽的故事里写进这样一个细节，我们现在还真的没有什么可以怀疑的，只需要信以为真就完了。

但另一方面，我们不妨从一个思想窠臼中走出来： 不要一根筋地认为天不生毕达哥拉斯，万古没有音乐。 我们完全可以看看，在世界的另一端，音乐的美丽是如何被人们认识的。

音乐的基础是音符，对多数人而言，一个音符的频率是多少赫兹并不重要，关键是若干音符之间频率的比例关系，或者是在弦乐器中，若干音符对应的弦长之间的比例关系。确定这种比例关系的一种方法在欧洲叫做 “毕达哥拉斯五度相生律” （Pythagorean tuning） ，而在古代中国，叫做 “三分损益” 法，二者有些细小的差别，但都是使用2和3两个质数来生成不同音符对应的弦长。

在三分损益法中，我们把一个长度为L1的弦分成三份，然后把弦长 “损” 掉（1/3）L1，这样得到的弦长就成了L2 =（2/3）L1。这个长度的弦发声频率为原来的1.5倍，新的音符和原来音符是 “嗦” 和 “哆” 的关系。

在L2弦长的基础上，再把弦分成三份，然后 “益” 回去（1/3）L2，这样得到的弦长就成了L3=（4/3）L2，新的音符唱做 “唻”。

在此基础上再 “损” 一次得到 “啦”，再 “益” 一次得到 “咪”。这样就有了 “哆唻咪嗦啦” 的五音音阶。继续进行损益操作，可以生成一个八度之内的全部的十二个音符。

现在知道最早把三分损益法写下来的，是 2500 多年前的《管子》，当然不是写在纸上，而是写在竹简上。年代久了，很多人有怀疑，这很正常，毕竟出土文物是判断古代历史真伪的金标准。而出土文物，有个现成的例子，就是上篇文章中谈到的曾侯乙编钟，也是 2500 多年前。

曾侯乙编钟的音律确定方法甚至比三分损益法更丰富，以质数3确定的五度为骨架，用质数5确定的三度补充其他音符。 （频率比为3/2时音符关系是 “哆” 和 “嗦”，五度关系；频率比为5/4时音符关系是 “哆” 和 “咪”，三度关系。用频率440、550、660 赫兹分别对应A调中的 “哆” “咪” “嗦” 这个规律比较好记。另外，现代的音乐中的 “纯律”，也是使用质数2，3，5来生成音符的） 。

很多人认为三分损益法不是管仲发明的，而《管子》中也并没有说是管仲发明的。我认为这就对了， 三分损益法很可能是经过很多人的大量多次实践，逐渐总结出来的。

让我们还是看出土文物：下图是一支来自8000多年前、以鹤类禽鸟尺骨制成的骨笛，出土于河南舞阳贾湖遗址。 （总共陆续出土20余支）

贾湖骨笛 | 图源wikipedia.org

大家可以从下面的链接听一下研究人员测音时吹奏的《小白菜》，8000多年前古人定的音，和现代人的感觉居然那么一致，一点听不出音准上的别扭。

制作骨笛的先民具体按照什么规律定的音，骨笛采用的音律对后世的三分损益等音律有什么影响，这些暂时还不清楚。但研究人员在骨笛上找到了各种等分计算的刻画痕迹，相信今后会有更多研究进展。

这一系列例子说明， 人类智力活动中的很多发现，很可能是许多引车卖浆的平民百姓积累而成的。 包含了很多如你我这般普通人的努力，但并不一定需要一个足以彪炳史册的天才大牛人物的 “灵机一动”