享誉世界的数学史名师约翰·史迪威（John Stillwell）自《数学及其历史》后十年磨一剑，再出新作！聚焦证明的历史，时间跨度从从勾股定理到现代数学。

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数学的美丽不仅在于它的结论，更在于它的证明。在约翰·史迪威的《证明的故事：数学的逻辑之美》第一章中，我们被带回到证明思想的摇篮——欧几里得之前的古代世界。

这里，勾股定理早已为人所知，但无理数发现开启了严格逻辑证明的大门。从巴比伦的勾股数组到芝诺的悖论，再到欧多克索斯的比例理论，我们看到了人类如何从简单的数值观察逐步发展出严密的推理体系。

这段旅程不仅揭示了无穷、连续与离散等核心数学概念的起源，也展示了早期文明在面对这些抽象概念时的智慧与创造力。现在让我们一起沿着这条思路，追寻证明的源头与力量。

1.1 勾股定理

史迪威首先介绍了数学中最著名的定理——勾股定理。这个定理在欧几里得之前就已在多个文明中被独立发现。

勾股定理体现了数学的两个基本方面：数与空间，或算术与几何，或离散与连续。

作者通过简洁的几何证明展示了定理的纯几何形式：直角三角形斜边上的正方形面积等于其他两边上正方形面积之和。这一证明利用了欧几里得所谓的"公理"，如"相同的图形是相等的"和"相等加相等得相等"。

1.2 勾股数组

本节讨论了满足 的整数三元组，即勾股数组。巴比伦人在公元前 1800 年就已经发现了许多这样的三元组，展现在著名的普林顿 322 泥板上。

普林顿322泥板不仅是已知最早的勾股数记录之一，也反映了巴比伦数学家对直角三角形和比值的系统研究能力，展现了早期数学的实用性与理论性结合。

这块泥板按斜边与直角边的比值排列了多组勾股数，显示了巴比伦人对这一数学关系的深入理解。

史迪威分析了这些数据，指出巴比伦人可能通过分数 生成这些复杂的勾股数组，并且他们似乎有意收集不同形状的三角形。值得注意的是，等边直角三角形在这个收集中缺席，因为它的斜边是无理数。

1.3 无理数

毕达哥拉斯学派发现无理数是数学史上的重要转折点。这一发现被称为希腊数学的"基础危机"，因为它迫使数学家面对无穷的概念，并认识到严格证明的必要性。

1.4 从无理数到无穷

本节探讨了无理数与无穷的关系。

史迪威介绍了希腊人称为"anthyphaeresis"的互易相减法(欧几里得算法)，一种通过重复减法研究两个量关系的方法。

当这个算法应用于 和 1 时，减法过程永不终止，但每两步会回到相同的比值模式。这种周期性现象证明了 的无理性，同时也揭示了 的特殊结构。作者还展示了这一算法的几何意义，以及黄金比例作为另一个重要无理数的例子。

1.5 对无穷的敬畏

希腊数学家区分了"潜在的无穷"（无限重复的简单过程）和"实际的无穷"（完整的无限总体）。

芝诺的著名悖论质疑运动的可能性：移动任何距离前必须先移动一半，而这些半程无穷多，似乎不可能完成。亚里士多德对此的回应是时间也同样具有无穷性。

希腊数学家处理无穷的方式是逐一处理潜在无穷的成员，而非考虑它们的总体，这一思路促使他们对连续与离散的关系有了深刻理解。

1.6 欧多克索斯

欧多克索斯的比例理论和穷竭法代表了希腊处理无穷的最高成就。他定义了长度比的相等关系：如果对于任意自然数 和 ， 当且仅当 ，则 。这一定义巧妙地利用潜在无穷而避免了实际无穷。

比例理论隐含了"阿基米德公理"：不存在无穷小量，对任何非零长度 和 ，总存在自然数 使得 。

欧多克索斯的穷竭法是比例理论的推广，用于近似曲线区域的面积或体积。他通过多边形内外逼近圆形，证明了圆的面积与半径平方成正比。这种方法通过穷尽所有可能性得出结论，而只需使用潜在无穷。

1.7 附注

史迪威总结道，希腊数学中已经包含了现代本科数学中被认为棘手的许多话题，如归谬法、无穷的使用和"足够接近"的近似概念。这表明古代数学是证明艺术的良好训练。

同时，他指出古代论证通常可以通过代数符号简化，而代数艺术在古代是缺失的。另一个缺失的元素是从公理系统推导定理的方法，这种方法也起源于古代，将在下一章中探讨。

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