小学数学与伽罗瓦理论的一次奇遇

小学数学与伽罗瓦理论的一次奇遇

来源：湖南.长沙砂子塘小学 曹海

编辑：Gemini

数学具有简单之美，可大多数人却无法感受到它的简单美，究其原因大概有两点：第一、他们小学时期没有感受到数学的简单美，从而没有产生对数学的兴趣；第二、中学时期由于难度上升，离感受到数学的简单之美就更加遥远了。有的甚至开始恐惧、厌恶数学，那也就是说，数学具有简单之美，只是对于少数人而言，这是真的美吗？其实，我们所说的数学具有简单之美，是人对数学的感受。数学本身当然没问题，有问题的是，很多人没有感受到它的美，因为它不像音乐之美，几乎每人都可以感受得到，同时音乐还可以抚慰你的心灵，激发你的动力（其实音乐与数学是有一定联系的，好的音乐的音量和音高一般来说是符合数学中的分形结构的）。

我怎么看待数学的简单之美？

人们对数学的简单之美或许会存在一点误解，觉得既然数学简单，就应该理所当然地大家都能感受得到，但实际上数学的简单是分层次的，对于一个学数学的人来说：童年时期看数学很简单，少年和青年时期看数学不简单，中、老年时期看数学还是简单，就好像佛家的人生三境界一样。而要达到第三重境界，最重要的还是童年时期，童年对数学产生了浓厚兴趣，对整个一生的数学学习可以说是至关重要！所以，我觉得数学之美，应该是给我们学数学的儿童，种下美的种子，然后经过少年和青年时期的“不简单”的磨练，从而在一代人的身上开出数学简单之美的花朵，如果我们想让数学更加充分地美其美，最重要的一点就是让更多的人能够感受到它的美，而不光只是少数人的游戏，甚至存在一些数学“较好”的人，嘲笑数学差的人的现象。而要做到这一点，就要尽我们每一个数学研究者和数学教育工作者的力量，来给我们儿童种下数学简单之美的种子，同时想到我们现今的小学数学：学了一个两位数乘两位数，横向上，可能就要为此练习几千道有关两位数乘两位数的练习题，其中绝大多数还是纯计算，有一小部分关于两位数乘法的应用题，其素材也是相当陈旧，没有活力，没有与小学生的自身的生活经历联系起来，就更别说纵向的认识了。

而实际上整个小学数学可以看成是一个有理数域上的活动，简单到只需用一个字母Q来表示就可以了。不管是算术还是几何，它们都是加减乘除的某种呈现形式，也就是说它对于四则运算是封闭的（任何两个或多个有理数进行加减乘除运算，结果仍然是有理数）。所以，当你在做数学应用题或计算图形的面积和长度时，你不用担心你的结果是一个怪胎，它肯定是你认识的数：整数，小数（有限小数、无限循环小数），分数。倒是我们列出来的算式中的每一步（加减乘除）表示的意义是什么，作为小学生的我们应该反复思考、多回味，这样我们才会积累起真正的运算经验，加深自己对加减乘除在具体情景中的理解，慢慢我们才有可能对加减乘除的理解越来越全面，而不是辛辛苦苦地做了许多题，最后还是只会记住自己记住的那些题目。明白了这一点，并坚持去思考题中的加减乘除代表的含义，对提高小学数学学习效率是有极大的作用的，慢慢你就会发现数学越学越简单。对于小学生来说知道该做什么，这已经成功了一大半，只是明白我们在做什么，就太困难了，因为有理数域Q，对于小学生来说，太浩瀚了，对于它的代数结构，小学生根本不可能有丝毫感受，为了弥补这个缺失，我决定为他们构造一个有限的代数结构：有限群。让他们通过一定量的计算来感受，代数结构的封闭性。最后，经过一半努力，一半运气，我找到了一个只需要三年级两位数乘以两位数，数学基础就可以理解的群。由于构造这个群的想法，是来自于我国著名数学科普作家：谈祥伯老先生，所以接下来，我将引用谈祥伯老先生在他的著作《数学不了情》中的话，来给出这个群的玩法介绍，谈老，把这样的一个群叫做“独立王国”。“独立王国，纯属子虚乌有，只是一个存在于纸面上的数字王国，一个自给自足的“土围子”。

它犹似与世无争的世外桃源，物产虽不丰饶，却是吃用有余，闭关自守，十足的超稳定结构。

莫非它是柏拉图的“理想国”？找遍地球上任何一个角落，这样的封闭社会是不存在的。但是，在小说家的自由驰骋里，它还是不断受到讴歌。孙悟空一个筋斗可以翻十万八千里之遥，但是翻来翻去，却翻不出如来佛的手掌心。

由此可见，如来的手掌对翻筋斗这种“运算”来说，便是一个封闭集合了。

中国古时候有所谓“壶中乾坤”的说法。不要轻视“小”，小有小的妙用。

我发现的一个群仅有10个成员，它们是{4,16,24,36,44,56,64,76,84,96}，在这个“独立王国”里，加减乘除都残缺不全，例如：4+16=20,24-16=8,16×24=384,24÷16=1.5，其中20，8,384,1.5都不是这个独立王国里的成员了，但是有一种特殊的运算，可以让你在这个独立王国里随意翻筋斗，却不用担心翻出去。为了体现这种运算的特殊性，我们用符号来表示，它表示什么意思呢：先按普通乘法得出乘积，得出乘积后截取其末尾2位尾数作为特殊乘法的积，我们来看两个对比的例子就明白了，普通乘法：16×24=384；特殊乘法：1624=84。普通乘法：84×96=8064；特殊乘法：8496=64。普通乘法：64×64=4096；特殊乘法：6464=96，等等。了解了特殊乘法的法则，接下来你可以做的事情就多了：

①验证乘法交换律对于特殊乘法是否成立；

②验证乘法结合律对于特殊乘法是否成立；

③任意两个成员相乘（特殊乘法），看“乘积”是否还是这个集合的成员；

④这个独立王国里只有一个成员最特殊，你能找出来吗（想一想这个特殊成员的性质和我们普通乘法中的哪个数字是‘一样的’）；

⑤如果两个成员的特殊乘积等于这个‘特殊成员’（76），那么就称它们为互为‘逆元素’，你能找出每个成员的逆元素吗？

⑥每个成员与自己相乘一定次数后，都会得到上面你找出来的最特殊成员（76），如果是通过自己的平方得到最特殊成员，我们就说这个成员的阶是2（例如：2424=76，所以我们说24的阶是2）；如果需要五个自己相乘才可以得到特殊成员，我们就说这个成员的阶是5，例如：3636363636=96363636=563636=1636=76，所以我们说36的阶是5，依次类推。你能算出其它成员的阶分别是几吗？

如果你想亲自体验到其中滋味，我建议你自己去编造一个特殊乘法表或利用下面的“乘法表”来验证第③和第④条，第①、②、⑤条要单独计算验证，对于小学生来说用笔算感觉会更加好，如果你笔算非常熟练，也可以直接用计算器算。

这个群其实只是我发现的群的一个子群，因为元素个数比较适中，所以我就把它放在前面了，而我最开始发现的群是由20个成员的：{4、8、12、16、24、28、32、36、44、48、52、56、64、68、72、76、84、88、92、96}

下面我将简单介绍一下，这个“独立王国”的发现过程：

之前就有耳闻：教小学生群论是可能的。我当时的感觉是：这么抽象的内容，数学专业生都不易理解，如果硬是想办法嚼碎了喂给小学生吃，意义不大。去年寒假，在家休息时，一直在看谈详柏老先生的著作《数学不了情》，从中了解到，如果定义一种‘截取尾数乘法’的话，我们就能够得到一个8阶五位数乘群，这个群G=｛46875、96875、21875、71875、90625、40625、15625、65625｝，定义的乘法为：先按普通乘法算乘积，再截取结果末五位作为群乘的结果。神奇的是这样的乘法对于集合G是封闭的，①G中任意两个元素按这样的乘法相乘，其结果依然还是G中元素，跑不出G的范围。②96265相当于G中的单位元；③对于G中每个元素，都能通过计算找到其逆元素。同时还满足交换律，所以G不仅是一个群，还是一个阿贝尔群。但是，由于当时没有太多感觉，就搁浅了，没有深入研究。直到今年四月中旬，开通了自己的数学公众号，准备为提高学生的数学学习兴趣和数学研究能力，分享一些资源和自己的思考。要开始着手找素材了，所以就形成了一个习题库，从中发现并改造出，对于学生全面地理解加减乘除这四种运算的题目，但同时也没有落下坚持翻看大学专业数学书籍的习惯，其中《近世代数》从毕业以来，已经翻看了两三遍，但也一直是限于自己对大学知识的复习。直到最近要找数学题素材，再次翻到了谈老的《数学不了情》，又一次看到了｛46875、96875、21875、71875、90625、40625、15625、65625｝，于是才产生要不要呈现给学生的想法，但是细想，这里面的数太大，对于三年级学生不太合适，虽然四年级学生可以用计算器来算，但我感觉这没有亲自动笔感受深刻，对于群的魅力感受也会打折扣，于是又放弃了。稍后，躺在床上，突然一个念头崩出来：五位数乘五位数太大，何不构造一个三年级就可以操作的两位数乘两位数，这个点子，马上让自己大脑兴奋起来，于是马上开灯，翻开近世代数，群论那一章，又把群的定义认真复习了一遍，接着随手在草稿纸上写了几个两位数，试着乘一下，看结果末两位有没有规律，结果感受到的是，两位数太多，无从下手……

第二天，上完课，坐在办公室，由于暂时地闲下来了，就想起了，昨晚构造群的事情，因为想到：如果能构造出一个两位数乘两位数‘乘群’，不仅可以让学生很好地练习刚学的笔算乘法，还能让他们感受一下，群的代数结构的魔力，为他们日后学习数学专业也埋下了一颗种子，于是马上拿起纸和笔，陷入了思考：①两位数乘以两位数，结果是三或四位数，而谈老的五位数‘乘’群中的元素都是较大的五位数，如果存在两位数‘乘’群，是否也是一些较大的两位数；②谈老的‘乘’群中的尾数都是5或7，那么这两个数字作尾数，是不是更容易使得运算封闭。于是，我马上制作了，尾数是5的两位数乘法表，把它们一一算出来，结果让我有点失落，此时我心想，希望应该不大，于是抱着没有希望的心态，继续思索：既然这种特殊乘法，只需要截取普通乘法乘积的末尾两位作为结果，也就是说特殊乘法的乘积，等于普通乘法乘积除以100所得的余数。于是，我们可以建立模为100的同余方程，假定我们要构造的群存在，则必有单位元，设为：a=10A+B，则对于群中任意元素a=10A+B，有：a×aa（mod100），即：（10A+B）×（10A+B）10A+B（mod100），展开，整理变形得：10（AB+AB-A）+B（B-1）0（mod100），说明：10（AB+AB-A）+B（B-1）为整百数，显然加号左边10（AB+AB-A）为10的倍数，所以加号右边B（B-1），也必须为10的倍数，则B和（B-1）中，必有一个等于5，另一个为不大于8的偶数，下面对B和（B-1）分情况讨论：①若B等于1，则B（B-1）等于0，所以10（AB+AB-A）=10AB为整百数，即AB为整十数，考虑到A的不变性，所以A=5，则B=0，2，4，6，8，A为1~9的任意数，于是我们得到单位元51，其它成员为所有末尾是0，2，4，6，8的两位数，即偶两位数。通过检验发现:51乘以任意一个偶两位数，结果的末两位真的都等于这个偶两位数（你可以亲自验证一下），这确实让我欣喜不已，于是我继续验证封闭性：10×10=100，20×10=200，所以整十数不能满足封闭性，要去掉，接下来只剩：51，和尾数是2、4、6、8的两位数了（共1+4×9=37个），由于有限群中每个元素的阶都有限，所以我可以通过元素自乘找到其它元素，并且得到单位元，想到这里我就发现了矛盾，因为不管是哪个偶两位数自乘，所得结果的末两位都不可能是51，这说明我好不容易找到的单位元站不住脚，不过我没放弃，还是继续乘（特殊乘法）：12=44；12=28；12=36；12=32；12=84；12=8；12=96；12=52；12=24；12=88；12=56；12=72；12=64；12=68；12=16；12=92；12=4；12=48；12=76；12=12，这一路算过来，我的心就像三角函数图像一样跌宕起伏，但最后的算式，让我看到了希望：12=12，说明76有点单位元的特质，于是我用76去乘前面用12生成的19个元素，都得到了该元素自身，也就是76可以看成这个集合的单位元，比如7652=52（普通乘法结果等于3952）,7648=48......如果你想得到同样的惊奇感，你应该一一验证，接下来我又列了一个乘法表：

通过计算发现，每个结果都在这二十个成员之内！（其中4和8是计算之前未曾想到的）所以，只剩下37-（20-2）=19个成员需要检验了，它们分别是：14、18、22、26、34、38、42、46、54、58、62、66、74、78、82、86、94、98、51。通过计算：7614=64、7618=68、7622=72......，发现，这些数与76相乘后得到的都不是它们本身了，说明：这些数不能以76为单位元，而上面20个元素已经是一个群了，所以这19个数只能舍去。到这里，我就成功地找到了一个群：一个只需小学三年级数学基础就能够有所理解的群(Group)，这的确让我欣喜不已，因为刚开始自己几乎都没抱任何希望的，而且在用同余方程寻找单位元这种方法时，第一次计算就得到了，这对于探索来说，已经是非常幸运的了，反而当我按同样的方法继续往下搜索时，就没有找到其它的群了，有也只是这个群的子群，而这我们根据近世代数的知识：对于有限群G，任取a属于G，可以得到G，以a为生成元的循环子群，根据这样的方法我又找到了3个群G={4、8、12、16、24、28、32、36、44、48、52、56、64、68、72、76、84、88、92、96}的子群，它们分别是：H=={24,76};H=={16,24,36,96,76}；H=={4,16,24,36,44,56,64,84,96,76}（这也符合群论知识中任何子群H的阶必是群G的阶的因数）。

什么是数学的简单之美，当有更多的人能够感受到数学的简单时，才算是真正的数学简单之美。要想达到它，就要把数学教育慢慢改造成教育数学。关于数学教育与教育数学的区别，我国著名数学家，张景中院士早在1989年所写的《从数学教育到教育数学》中就给出了非常形象的比喻：“把学数学比作吃核桃。核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它。有些核桃，外壳与核仁紧密相依，成都人形象地叫它们“夹米子核桃”，如若砸不得法，砸开了还很难吃到。数学教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃。教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味、更营养、更容易砸开吃净”。我想，当我们拥有足够丰富的教育数学素材时，就会有更多的人喜欢数学，从而又会反过来更加快速地提升数学，到那时数学的简单之美就会更加熠熠生光，此文提供的20阶乘群，对于小学生来说它是一个玩具，对于中学生来说，可以让他们初步感受到代数结构的魅力，而把它提供给大学数学专业生作为学习素材的话，会让他们对群有一种亲近感（我自己当初在大学学群论时，很长时间都没有什么感觉），从而加速他们对于群这个代数结构的理解......