多而无效工具变量下的识别与推断

正文

工具变量一直是计量经济学中「因果推断」的利器，然而在实际应用中，总会有这样活着那样的问题。传统来讲，工具变量有两个要求：与内生变量高度相关、与误差项不相关，这两个要求缺一不可。前者的违背会导致弱工具，这其中一个更有意思的问题是有很多的弱工具（many weak instruments）的情况。而后者的违背会使得工具变的无效（Invalid）。

那么，如果这两个问题一起遇到呢？也就是many invalid instruments？

由五位大神： 普林斯顿的 Michal Kolesar、哈佛的Raj Chetty、John Friedman、Edward Glaeser以及斯坦福的Guido W. Imbens 在《Journal of Business and Economic Statistics》上的文章《Identification and inference with many invalid instruments》讨论了当有这些问题时一种特殊情况的识别与推断。

作者先举了一个实际的例子。在之前Chetty et al. (2011)的文章中，作者对早期教育非常感兴趣。作者想知道，幼儿园时期的成绩是不是对一年级的成绩有影响。由于幼儿园时期的班级是随机分配的，因而这个分班就很资产的成为了幼儿园成绩的工具变量。

然而问题是，这样做有一个很大的弊端，就是从幼儿园升学之后，这些小朋友绝大多数都还在一个班。如果这样，幼儿园的分班情况就不仅仅影响了幼儿园的成绩，还 直接 影响了一年级的成绩。因而这个工具是invalid。

除此之外，还有一个更麻烦的问题是，由于每个班的学生数不会超过某个数值，所以随着样本量（学生数）的增大，班级的个数也在增大，这就导致了many instruments。此外，由于分班情况还影响了一年级的成绩，因而也有了many regressors的问题。

一般的研究人员也许会有两个策略：忽略掉幼儿园分班情况对一年级成绩的影响，直接做，当然，这样做是不对的；要么会说，这个工具不对，不能做。

可是大神就是大神，即便有这么多问题的情况下，他们还是想办法做出来了。怎么做的呢？

虽然幼儿园的分班情况跟一年级的分班情况几乎相同，但是一年级的老师却又是随机分配的。所以幼儿园分班情况对幼儿园的成绩的影响，以及对一年级成绩的影响，是 正交 的！什么个意思呢？幼儿园某个班能碰到好的老师，成绩高，但是到了一年级，因为老师随机分配，因而遇到好的老师的概率跟其他班是一样的，所以这两个影响应该是不相关的。

那么数学上怎么做呢？假设面临以下模型：

其中Y为一年级成绩，X为关心的内生变量，幼儿园成绩，W为其他的控制变量，Z为工具变量（班级的dummy）。注意工具变量直接影响了Y，而且Z的规模随着N的增大而增大。

仿照文献的做法，这里的γ和π_1并不假设为未知的系数，而是 随机变量 。那么以上的正交条件就可以表达为γ和π_1的独立。或者，将Z对W的残差与[γ π_1]的乘积的相关矩阵表示为：

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