微积分的发现是人类精神的最高胜利

算法与数学之美 · 公众号 · 算法 · 2017-05-19 21:24

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微积分的发现是人类精神的最高胜利

来源：数学英才

编辑：Gemini

在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了，如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那正是在这里。——恩格斯

微积分早期的思想基础

在25岁以前的伽利略就开始作了一系列实验，发现了许多有关物体在地球引力场运动的基本事实，最基本的就是自由落体定律。开普勒在1619年前后归纳为著名的行星运动三大定律。这些成就对后来的绝大部份的数学分支都产生了巨大影响。伽利略的发现导致了现代动力学的诞生，开普勒的发现则产生了现代天体力学。他们在创立这些学科的过程中都感到需要一种新的数学工具，这就是研究运动与变化过程的微积分。

有趣的是，积分学的起源可追溯至古希腊时代，但直到17世纪微分学才出现重大突破。

积分思想的渊源

求积问题就是求图形的面积、体积问题。该问题的历史十分悠久，可以追溯到古代各个文明对一些简单图形进行的求面积和体积，比如求三角形、四边形、圆或球、圆柱、圆锥等等的面积或体积，以及17世纪欧洲人对圆面积、球体积、曲边三角形、曲边四边形等的面积的计算。这些问题直到牛顿和莱布尼兹建立微积分才从根本上得到了解决。求积问题是促使微积分产生的主要因素之一。

在积分思想发展的过程中，有一批伟大的数学家为此做出了杰出的贡献。古希腊时代伟大的数学家、力学家阿基米德，我国古代著名数学家刘徽，祖冲之父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的贡献。

16，17世纪是微积分思想发展最为活跃的时期，其杰出的代表有意大利天文学家、力学家伽利
略和德国天文学家、数学家、物理学家开普勒，卡瓦列里等。他们的工作为牛顿、莱布尼兹创立微积分理论奠定了基础。

微分学思想的起源

微分学主要来源于两个问题的研究，一个是作曲线切线的问题，一个是求函数最大、最小值的问题。这两个问题在古希腊曾经考虑过，但古希腊对这两个问题的讨论远不及对面积、体积、弧长问题讨论得那么广泛和深入。

在这两个问题的研究上作出先驱工作的是费马。费马在1629年给出了求函数极大、极小值的方法。不过这个思想直至八、九年后才较多地为人所知。

开普勒已经观察到，一个函数的增量通常在函数的极大、极小值处变得无限地小。费马利用这一
事实找到了求函数极大、极小值的方法。它的根是使函数取极小值的。费马还创造了求曲线切线的方法。这些方法的实质都是求导数的方法。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生。费马在这两个问题上都作出了重要贡献，被称为微积分学的先驱。

费马处理这两个问题的方法是一致的，都是先取增量，而后让增量趋]向于零。而这正是微分学的实质所在，也正是这种方法不同于古典方法的实质所在。

费马还曾讨论过曲线下面积的求法。这是积分学的前期工作。他把曲线下的面积分割为小的面积元素，利用矩形和曲线的解析方程，求出这些和的近似值，以及在元素个数无限增加，而每个元素面积无限小时,将表达式表示为和式极限的方式。但是，他没有认识到所进行的运算本身的重要意义，而是将运算停留在求面积问题本身，只是回答一个具体的几何问题。

只有牛顿和莱布尼兹才把这一问题上升到一般概念，认为这是一种不依赖于任何几何的或物理的结构性运算，并给予特别的名称－微积分。

在创立这些学科的过程中，他们都感到一种新的数学工具的需要，这就是研究运动与变化过程的微积分。有趣的是，积分学的起源可追溯至古希腊时代，但直到17世纪微分学才出现重大突破。

费马还创造了求曲线切线的方法。这些方法的实质都是求导数的方法。曲线的切线问题和函数的极大、极小值问题都是微分学的基本问题。正是这两个问题的研究促进了微分学的诞生。费马在这两个问题上都作出了重要贡献，被称为微积分学的先驱。

费马处理这两个问题的方法是一致的，都是先取增量，而后让增量趋向于零。而这正是微分学的实质所在，也正是这种方法不同于古典方法的实质所在。费马还讨论过曲线下面积的求法。这是积分学的前期工作。他把曲线下的面积分割为小的面积元素，利用矩形和曲线的解析方程，求出这些和的近似值，以及在元素个数无限增加，而每个元素面积无限小时,将表达式表示为和式极限的方式。但是，他没有认识到所进行的运算本身的重要意义，而是将运算停留在求面积问题本身，只是回答一个具体的几何问题。只有牛顿和莱布尼兹才把这一问题上升到一般概念，认为这是一种不依赖于任何几何的或物理的结构性运算，并给予特别的名称－微积分。

微积分的创立

十七世纪是从中世纪向新时代过渡的时期。这一时期，科学技术获得了巨大的发展。精密科学从当时的生产与社会生活中获得巨大动力；航海学引起了对天文学及光学的高度兴趣；造船学，机器制造与建筑，堤坝及运河的修建，弹道学及一般的军事问题等等，促进了力学的发展。

在这些学科的发展和实际生产中，迫切需要处理下面四类问题：

1. 已知物体运动的路程和时间的关系，求物体在任意时刻的速度和加速度。反过来已知物体的加速度与速度，求物体在任意时刻的速度与经过的路程。

计算平均速度可用运动的路程除以运动的时间，但是17世纪所涉及的速度和加速度每时每刻都在变化，对于瞬时速度，运动的距离和时间都是0，这就碰到了0/0的问题。人类第一次碰到这样的问题。

2. 求曲线的切线。这是一个纯几何的问题，但对于科学应用具有重大意义。例如在光学中，透镜的设计就用到曲线的切线和法线的知识。在运动学问题中也运到曲线的切线问题，运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，是轨迹的切线方向。

3. 求函数的最大值和最小值问题。在弹道学中这涉及到炮弹的射程问题，在天文学中涉及到行星和太阳的最近和最远距离。

4. 求积问题。求曲线的弧长，曲线所围区域的面积，曲面所围的体积，物体的重心。这些问题从古希腊开始研究，其中的某些计算，在现在看来只是微积分的简单练习，而过去曾经使希腊人大为头痛。事实上，阿基米德所写的著作几乎都是在讨论这类问题，而他的结果就标志着希腊数学的高潮。

正是科学和生产中面临的这些重要问题，促进了微积分的诞生与发展。

在微积分诞生和发展时期，一批伟大的数学家做出了杰出的贡献，例如，数学家伽利略，开普勒，卡瓦列里，费马，巴罗，牛顿，莱布尼兹等等。

微积分的发现是人类精神的最高胜利

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