专栏名称: 吴师兄学算法

和程序员小吴一起从初学者的角度学习算法，以动画的形式呈现解题的思路。每周四篇原创文章，期待你的鉴赏！

我错了

吴师兄学算法 · 公众号 · · 2021-05-05 17:25

正文

大家好，我是程序员吴师兄，明天就要上班，不知道大家焦不焦虑，反正我是不焦虑的，因为我又请了几天年假出去玩（逃

在等飞机的过程中，发现一道有趣的数学题，思考了半天居然做错了。。。

0 1

故事起源

100个人回答五道题，有81人答对第一题，91人答对第二题，85人答对第三题，79人答对第四题，74人答对第五题。
答对三道题或三道题以上的人算及格，那么在这100人中至少有多少人及格呢？

0 2

思考小规模，AB两题

先考虑如果只有AB两道题，100个人，第一反应是用集合的方式。

总共也就上面3种情况，其中第一种人数大于100非法，所以只存在后面2种情况。
可以得到如下结论：

同时做对AB两题的最少有72人，最多有81人
同时做错AB两题的最多有9人，最少有0人

看来已经找到了规律，那就按这个思路进一步扩大数据规模，考虑ABC三题。

扩大规模，ABC三题

先考虑每两题之间的关系。

再合成三题的关系。等等，好像有点复杂，这不是线性的复杂度，不好意思，小K的智商有点不够用，自闭了。

那小K是不是要准备放弃了呢，NO，never say give up。有时候不要撞倒南墙不回头，基于小K多年的经验，如果找到的规律不明显或者很复杂，一般都说明你走错了，所以这时要考虑切换思维方式。

切换思维

上面都是正向思维，但不好处理，可以逆向思维。

只要错3道就不及格，一共有19+9+15+21+26=90道错题，那么90/3=30，则最多有30人不及格，所以最少有70人及格，perfect，收工。

Wait，总感觉有点怪怪的，倒不是因为太简单，而是对于信息量的直觉告诉我，这种解法忽略了很多的信息量。

只用了总数，而没有用到5道题的错题数量分布。那就直接告诉你总共错了90道就行了，为啥还要单独告诉具体的数量，这难道真的只是误导信息吗？

极限法思维

根据上面的解法，既然不关心具体分布，那就用极限思维，构造特殊数据。比如所有错题集中在A题。

总共还是错90道，但所有人都做对4题，应该是100人及格，再一次自闭。

这时，我想应该有杠精要跳出来了。

小K：你说的很有道理，我竟无言以对。
先不跟你扯，咱们进一步思考，这个反例说明了一点：错题不能随意均摊，那就从这点下手。

错题均摊

先看错误的分布。

如何将这些错题分配给最多的人。为了分析方便，先写一个简单的例子，如错题分布为7、8、9、10、11。
第一种分配：

将A,B,C分配给7人
将C,D,E分配给2人
将B,D,E分配给1人

总共可分配7+2+1=10人。

第二种，优先分配B,C,D，总共11人。

第三种，优先分配C,D,E，总共12人。

到这里我们已经发现了规律，优先分配最大的3道会得到更多的人数。而在分配过程中最大的3道顺序会动态变化，这就启发了贪心的思想。

将错题从大到小排序
每次将最大的前3个分配给一人，然后重新排序

重复上面步骤，直到最后找不出3个不为0的数，也就是变为X,0,0,0,0或者X,Y,0,0,0。

抽象

转换问题：有5个矩形，顺序可随意。要切出宽度为3的N个矩形，要求总体叠加要尽量的高，最高有多少?
你品，你细品，这是不是同一个问题呀。所以要从最高的前3个开始一点一点的削它，哈哈。

真相浮出水面

回到原题，那到底至少有多少人呢？通过代码测试结果。

8.1

代码实现

int main() {
    int a[5], ans = 0;
    for (int i = 0; i 5; ++i) {
        cin >> a[i];
    }
    sort(a, a + 5, compare);
    while (a[2] > 0) {
        a[0]--;
        a[1]--;
        a[2]--;
        sort(a, a + 5, compare);
        ans++;
        for (int i = 0; i 5; ++i) {
            cout <" ";
        }
        cout     }
    cout <"ans=" 
    return 0;
}

8.2

数据测试

我错了

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