如何理解三大微分中值定理？

单变量微积分、线性代数的概念很多，我们的“马同学带你学”系列：

• “单变量微积分”（主要覆盖《高等数学同济版上》的内容）

• “线性代数”（主要覆盖《线性代数同济版》的内容）

通过通俗易懂的方式进行讲解，感兴趣可以点击最下方的“ 阅读原文 ”报名参加。

本文是付费课程《单变量微积分》中“ 微分中值定理 ”的节选，目前还在连载中，如果想了解更多的前置内容，可以参考下前面章节的免费内容：

• 微积分是什么？

• 柯西的数列极限

• 微分是什么？

• dx,dx是什么？
  

微分中值定理是很重要的基础定理，很多定理都是以它为基础进行证明的。

1 罗尔中值定理

1.1 直觉

这是往返跑：

可以认为他从 点出发，经过一段时间又回到了 点，画成 （位移-时间）图就是：

根据常识，因为要回到起点，中间必定有速度为0的点：

拳击比赛中，步伐复杂：

但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为0的点：

这就是罗尔中值定理。

1.2 罗尔中值定理

设函数满足以下三个条件：

• 在闭区间 [a,b] 上连续

• 在开区间 (a,b) 上可导

• 

则存在 ，使得 。

在闭区间 [a,b] 连续是必须的，否则有可能没有 ：

在开区间 (a,b) 可导也是必须的：

1.3 拓展

定理中的条件“ 在闭区间 [a,b] 连续、在 开区间(a,b) 可导”是否可以更改为“ 在闭区间  [a,b] 连续、在 闭区间[a,b] 可导”？

不行，这两者并非同一个条件，举一个反例：

此函数在图像如下：

此函数就是在 [1,0] 连续，(1,0) 可导，在端点 x=0,1 处导数不存在（类似于 在0点处不可导，可自行证明）。

2 拉格朗日中值定理

来看下交通管理中的区间测速：

时间 采集到汽车的位移为 ，时间 采集到汽车的位移为 ：

可以据此算出平均速度为：

比如算出来平均速度为 70km/h ，平均速度是由瞬时速度叠加的结果，那么路程中的瞬时速度可能为：

• 匀速前进：那么整个路程的瞬时速度必然全为 70km/h

• 变速前进：整个路程的瞬时速度必然有大于、等于、小于 70km/h 的情况

下面是变速前进的速度变换动画（蓝色为大于，闪烁为平行即等于，绿色为小于）：

如果限速 60km/h ，那么根据汽车的平均速度为 70km/h ，就可以判定路程中必然至少有一个点超速。

约瑟夫·拉格朗日伯爵，法国籍意大利裔数学家和天文学家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在数学层面解释刚才的现象。

2.1 拉格朗日中值定理

设函数满足以下两个条件：

• 在闭区间 [a,b] 上连续

• 在开区间 (a,b) 上可导

则存在 ，使得：

这个定理的几何意义就是，至少存在一点的切线与端点的连线平行；物理意义是，至少存在一点的速度与平均速度相等：

把它旋转一下，使得 ：