《空间网格结构技术规程》[1]第4.4.11条规定：“对于体型复杂或较大跨度的空间网格结构，宜进行多维地震作用下的效应分析。进行多维地震效应计算时，可采用多维随机振动分析方法、多维反应谱方法或时程分析方法。当按多维反应谱法进行空间网格结构三维地震效应分析时，结构各节点最大位移响应与各构件最大内力响应可按本规程附录F公式进行组合计算。”
同时，该规程第4.4.9条规定：“在抗震分析时，应考虑支撑体系对空间网格结构受力的影响。此时宜将空间网格结构与支撑体系共同考虑，按整体分析模型进行计算；亦可把支撑体系简化为空间网格结构的弹性支座，按弹性支撑模型进行计算。”
最新版本的PKPM支持对空间网格结构和下部支撑结构组成的整体模型进行“多维反应谱法”计算。下文将介绍计算原理、实现方法及工程算例。
对部分实际工程的计算表明，与多高层建筑常用的多维地震组合方法相比，采用“多维反应谱法”可能使得空间结构构件的内力最大增加达15%-20%。同时，对于较规则结构，“多维反应谱法”与常用组合方法结果差距很小。
考虑输入地震动由相互垂直的三个平动分量组成，分别为X轴分量、Y轴分量和Z轴分量，通常X、Y轴分量为水平运动分量，Z轴分量为竖向运动分量。此时线弹性结构动力方程可以表示为：
为地表加速度激励时程向量，
为三个坐标轴方向的地震影响向量组成的矩阵。
采用无阻尼振型空间对动力方程解耦，可以得到三向输入时j振型的运动方程：
为振型参与系数向量，各分量分别为：
通过设计谱我们只能得到某个方向激励下的特定频率单自由度体系的最大响应，进而得到结构任一响应的振型值，可以记为Sxj、Syj等。然而不仅同一方向激励下各个振型的最大响应不同时发生，各个方向的激励也并不同时达到最大强度，因此振型和方向组合的问题较为复杂。
(1) 不考虑相关性的组合方法
Penzien首先用相关矩阵来研究三维地震动分量的相关性[2]。他把地震动过程视为随机过程，然后把所记录到的强震记录当作样本函数，并用以计算所需要的统计量，给出了地震动三分量的“主轴理论”。按该理论，水平地震动的主方向和次方向是不相关的，这样两个水平方向间的组合可以采用SRSS（平方和开平方）组合。当水平地震动的主方向沿着X轴方向输入时，任一响应可以按下式计算：
上式也是《建筑抗震设计标准》第5.2.3条建议的双向地震作用效应组合方法。其中γ为次方向与主方向反应谱峰值的比值，取0.85，其中Sx和Sy由振型响应组合得到。
《建筑抗震设计标准》对水平和竖向之间的组合采用了线性叠加方式组合，组合系数体现在了第5.4.1条规定的地震分项系数中，具体值为0.5/1.4=0.36，其中1.4为水平地震分项系数，0.5为竖向地震分项系数。
以激励主方向沿着X轴方向输入为例，按《建筑抗震设计标准》的规定，总地震响应值按下式计算：
其中Sz按竖向设计谱计算。
当激励的主方向沿着与X轴成α角方向输入时，结构任一响应值可以表示为：
其中Sxy为两个方向的耦合响应。
利用上式可对α角求导得到结构某个响应量的临界角和最大值如下：
可见，对于结构任一项响应，其最不利地震输入角度与主、次方向的反应谱峰值比例无关。上述基于地震动主次分量不相关假定推导得出的极值和临界角度的计算公式与SAP2000中采用的CQC3[3]方法完全相同。
(2) 考虑两个水平分量相关性的组合方法
地震动三分量的主轴理论认为主轴的方向大致上直接指向地震的震中。但地震可能发生在结构的任何方向上，并不一定和结构的主轴相同。如果我们把任意一组实际地震激励输入到结构的主轴方向上，那么结构主轴方向的激励和其正交方向的激励一般来说就是相关的。
当然，如果我们假设地面运动的主轴方向与建筑结构的主轴相同，并认为此时就是结构的最不利状态，那么按Penzien的理论，采用SRSS是合理的。但对于任意空间复杂结构而言，结构自身的主轴方向不明确，笔者认为还是按考虑两个水平方向的相关性更为合理、安全。
《空间网格结构技术规程》附录F给出了考虑水平方向分量相关性的三维非平稳地震激励的计算方法，其组合公式简写后如下：
其中Pjk为振型相关系数。这是一种两个水平方向间的完全二次型组合（CQC），水平方向和竖向响应之间采用了不相关假定。
当地震作用的主方向沿着α角方向输入时，将α角方向和α+90方向单向输入的振型响应代入，并对α角求导数，同样可以得到任一响应的极值和临界角。
最新版本的PKPM的隔震减震模块支持按上述《空间网格结构技术规程》附录的组合方法进行地震反应计算，并进一步给出了每个构件内力分量的最大值和临界角度。PKPM中提供了若干控制参数，以便于执行不同规范的具体要求。
对一个简单空间结构模型和一个复杂空间结构和下部结构组成的整体模型，分别按《建筑抗震设计标准》和《空间网格结构技术规程》的组合方法计算三维地震输入下的内力响应。
地震动的主方向沿着X轴方向输入，主方向、次方向、竖向的设计谱峰值的比值在程序内部默认取1：0.85：0.65。当按《建筑抗震设计标准》计算时，取如下两种组合的不利值作为总地震响应值：
当按《空间网格结构技术规程》计算时，即按附录F公式直接组合三个单向响应。
从表1中结果可见，多维反应谱法计算的内力相比于抗震规范组合方法增加5%以内。
计算机程序搜索了不同组合方法对比后轴力差异最大的杆件，见上图中所示位置。上表2给出了这个构件的各内力分量对比，可见采用《空间网格结构技术规程》附录F的组合方法计算得到的最大轴力比抗规组合方法可能大15-20%。
注意，目前程序仅给出多维反应谱分析的内力，见下图，其中“X向多维反应谱”工况给出的是主方向沿着X轴作用的内力结果，“X0多维反应谱”工况给出的是每个构件内力分量的最大值。用户可以对比多维反应谱法内力和抗规常规组合方法的差异，从而验证空间结构关键构件地震响应计算的合理性。但程序尚未将改内力直接用于构件承载力验算。
最新版本的PKPM支持对空间网格结构和下部支撑结构组成的整体模型进行“多维反应谱法”计算。对部分实际工程的计算表明，与抗规常规组合方法相比，采用“多维反应谱法”可能使得空间结构构件的内力最大增加达15%-20%。
地面地震激励总是至少包含三个方向分量，这是与结构本身规则性无关的客观存在。因此无论规则还是不规则结构，无论高烈度区还是低烈度区，从更安全合理的角度，实际上都应该也都有条件同时考虑三向地震输入。在结构主轴方向不容易明确的情况下，则更有必要，此时可以计算多个地震输入方向，例如每隔15度计算一次。
参考文献：
（1）空间网格结构技术规程：GB 50191—2010[S]. 北京: 中国建筑工业出版社，2012
（2）Anil K. Chopra著.结构动力学理论及其在地震工程中的应用(第4版). 谢礼立,吕大刚等译.北京:高等教育出版社,2016.9
（3）Menun C, Kiureghian A D. A replacement for the 30%,40%,and SRSS rules for multicomponent seismic analysis. Earthquake Spectra. 1998,14(1): 153-163
供稿丨肖川、史跃波 审稿丨刘孝国
编辑丨王蕊 责编丨张跃飞
