先给大家铺垫一下基本概念，凸多边形的定义其实非常简单。我们知道，普通的多边形是由一组点连接起来的，它的边缘形成一个封闭的图形。
那么，如果这个图形是“凸”的，意思就是从图形内部的任意两点连线，始终会被多边形本身包含在内。换句话说，图形内部没有任何点会被“凸出”到多边形外面。如果从几何角度理解就是，每个内角都小于180度。
现在你可能会问了：“这和程序员我有啥关系呢？” 好问题！作为程序员，理解和判断一个图形是不是凸多边形，往往和计算几何有关。比如在做碰撞检测、路径规划、或者做一些图形的图形处理时，凸多边形的判断是一个基础而重要的技能。
为了更好地帮助大家理解这个问题，咱们可以通过编程来判断一个多边形是不是凸的。这里我给大家提供一个用Java来解决这个问题的方案。
首先，我们可以用数组来表示多边形的顶点，每个顶点用一个二维坐标表示。例如，一个多边形有四个点，顶点坐标可能是：
int[][] points = {
{0, 0},
{4, 0},
{4, 4},
{0, 4}
};
接下来，我们要判断的是，如何从这些点判断这个多边形是不是凸的。其实，判断凸多边形的关键在于检查每三个连续的顶点是否在同一侧。
换句话说，从第一个顶点开始，形成的每一条边与接下来的两点形成的向量应该始终指向同一方向，或者是逆时针方向，或者是顺时针方向。
我们可以通过叉积来判断两向量的方向。叉积是一个非常实用的工具，它可以帮助我们判断两向量的旋转方向。叉积的计算公式很简单：
设两个向量分别是
AB
和
AC
，那么它们的叉积为：
AB
×AC
=(Bx−Ax)×(Cy−Ay)−(By−Ay)×(Cx−Ax)
通过这个叉积，我们可以判断三个点的方向。若叉积为正，说明是顺时针，若叉积为负，说明是逆时针；如果为零，说明三点共线。
利用这个思路，我们就可以逐个判断多边形的每一组三个相邻的顶点，看看它们的方向是否一致。只要有一组三个点的方向与其他点的方向不一致，那就说明这个多边形不是凸的。
下面是实现的Java代码：
public class ConvexPolygon {
// 判断三点是否按顺时针、逆时针或共线排列
public static int crossProduct(int[] p1, int[] p2, int[] p3) {
return (p2[0] - p1[0]) * (p3[1] - p1[1]) - (p2[1] - p1[1]) * (p3[0] - p1[0]);
}
// 判断多边形是否是凸多边形
public static boolean isConvex(int[][] points) {
int n = points.length;
if (n 3) return false; // 少于3个点，不构成多边形
// 用来记录前两次叉积的符号，判断方向是否一致
Integer lastCrossProduct = null;
for (int i = 0; i int[] p1 = points[i];
int[] p2 = points[(i + 1) % n]; // 保证环形访问
int[] p3 = points[(i + 2) % n];
int cross = crossProduct(p1, p2, p3);
// 如果叉积不为0，表示有方向
if (cross != 0) {
if (lastCrossProduct == null) {
lastCrossProduct = cross; // 第一次设定方向
} else {
// 如果叉积符号不同，说明方向不同，不是凸多边形
if (lastCrossProduct * cross 0) {
return false;
}
}
}
}
return true;
}
public static void main(String[] args) {
int[][] points = {
{0, 0},
{4, 0},
{4, 4},
{0, 4}
};
if (isConvex(points)) {
System.out.println("是凸多边形！");
} else {
System.out.println("不是凸多边形！");
}
}
}
这段代码的实现步骤非常清晰：首先，我们用
crossProduct
方法来计算每三个点的叉积；然后用
isConvex
方法判断多边形的每条边的叉积方向是否一致。如果有一组点的方向不同，就说明这个多边形不是凸的。如果所有方向一致，那就是凸多边形。
这里的逻辑其实就像是看一个人的走路姿势。你走路时，如果总是左脚先迈，右脚跟着迈，步伐就会很规律，但如果忽左忽右，那显然是不太协调的，对吧？而凸多边形就像是那种每一步都很统一、没有任何“曲线”的形状。
总结一下，虽然数学看起来有点复杂，但其实我们只要明白了核心的判断思路，使用简单的计算方法就能轻松判断一个多边形是否是凸的。这个技巧在实际应用中，比如做图形处理、碰撞检测等场景中，都会大有用处。
