数学音乐专栏 | 石锤！学会陈奕迅高难度走音…就能自己做乐器（大概吧）

文 | 游斯彬

来源 | Mathaholic游斯彬

最近，综艺《明日之子》第二季开始热播了，我朋友圈妹子们表示十分兴奋：“又可以看到各种会唱歌会写歌的小哥哥了！”

其实，我也想写写歌，“一杯敬代数，一杯敬几何，唤醒欧几里得，温柔了泰勒…”

然而，除了各路有魅力的小伙子们，华晨宇老师一句“4536251”也引起了大家的热议，大家纷纷表示问号脸，这个“1234567”还是“7654321”的东东是啥？

其实呢，这个“4536251”是一组和弦序列的代称，那和弦是什么呢？和弦其实就是一组具有跨度关系的音叠加在一起。换句话说，具有一定跨度关系的音放在一起就会产生和谐美妙的音乐。

如果大家还是不理解，再给大家举个例子。为什么有的人跑音那么难听，正是因为他唱出的音和伴奏不满足这种跨度关系，来来，陈奕迅老师很好的给大家做了个示范，请戳：

那么，怎么找寻这样的跨度关系呢？是的，是时候把数学大大喊出来亮个相了。但是不急，故事要从公元前500多年的时侯讲起…

古时候有位伟大的数学家、哲学家毕达哥拉斯。他一直有万物皆数的概念，比如，智慧是1，和谐是8，数学就是666….他认为，万物都可以用数的关系来表达。

于是某天，他正在一边散步一边思考晚上吃什么宇宙的真理，突然听到旁边的铁匠铺传来“大锤八十，小锤四十”，哦不是，是“叮叮咚咚叮叮”的响声。毕达哥拉斯大叔被深深的吸引，他细细分辨发现，有些音组合在一起非常的和谐，可是也有一些噪音扰乱自己的听觉。那么，为什么不同锤子会发出不同的敲击声呢？又为什么有些引得组合可以优美动听呢？是因为锤子的形状？材质？还是因为铁匠颜值有差异？

一定有某种数的关系！”毕叔叔咬着下唇用力点点头。果然，经过仔细分析和对铁匠们的强势围观，毕达哥拉斯发现，重量不同的锤发出的声音各不相同，重量为12、9、8、6镑的锤子某两两配对时会发出悦耳的声音。毕达哥拉斯十分兴奋的记录下这些锤子重量的比例，即2:1，4:3，3:2。

其实，用当今的音乐语言描述，2：1的比例正是八度音，4：3正是纯四度，而3：2正是纯五度。看着这些比例，毕达哥拉斯猜测，是否音程比例越简单，和声越和谐？比如64248734677:35799542245大概就要难听上天了。毕叔叔决定，我们来做个实验吧，而这就是历史上著名的琴弦实验。

如图，毕叔叔选取了材质长度重量都一致的金属琴弦，并在各自弦的一端悬挂一定比例的重物。为了保持结果准确，毕叔叔深谙控制变量的道理，让用来固定琴弦的钉子和栓琴弦的方法都尽可能一致。然后毕叔叔敲击琴弦，竟然和他在铁匠铺的发现一致！当即，毕叔叔表示开心开心极了！“南来的北往的，听我发现的奇妙和声嘿，大家有钱的捧个钱场，没钱的捧….”（开个脑洞，不要介意…）

之后，毕叔叔又做了第二个实验，将一根弦两端固定，上面挂一可滑动的重物，用来改变弦震动的长度，结果长度按比例改变时，敲击的音也呈现刚才的规律。用如今的话讲，毕叔叔得出了两个结论：一是弦振动的频率和所受张力成正比，二是给定张力作用下，弦振动的频率和弦的长度成正比。

事实上，只有第二个结论正确，第一个结论后来被证明是错误的，弦振动的频率应该与所受张力的平方根成正比，具体细节我们暂且按下不表。但无论如何，毕达哥拉斯使用数学关系来表示音的跨度关系，这在那个数学体系不完善，音乐体系全无的时代，是非常伟大的做法，从此音乐也逐渐有了自己的理论体系。

后来，毕叔叔为了给大众讲解该原理，发明了一种独弦琴，即在一共鸣箱上面安装一根弦，弦下装一琴码可按照刻度移动，以改变琴弦震动部分的长度从而敲击发出不同的声音。来来来，简单给大家画来欣（tu）赏（cao）一下:

不知道大家看到这个图有没有什么想法，但我很想说，“毕叔叔，再多给我几根弦呗，我造个古筝送你可好？”是的，当我们知道弦长和音的关系之后，我们就可以通过改动每根弦振动的长度，创造乐器了呗，所以，毕达哥拉斯爸爸告诉我们，学好数学你还能搞个乐器出来，是不是非常奇妙！其实，大家常看到的多个水杯注入不同体积的水，就可以敲出不同的音，也是同样道理。当水杯的空体积形成一定比例时，就会产生和谐的音，大家不妨自己试试看。

可是有小伙伴可能会问我了，你统共一共提了三个比例，不能一个乐器就搞三个音吧？那这位朋友，我要恭喜你了，你已经和大数学家思想同步了，毕达哥拉斯学派也是这么想的，于是，又创造出了五度相生律。

五度相生律，从名字看，就可以解读其意图，每隔五度，则产生一个新的音。上文里，博主跟大家讲了，当两个音频率比例为3：2的时候，音高相差正是我们所说的纯五度，也就是哆（1）和嗦（5）之间的关系。古人当时还不知五度为何物，但知道频率比例3：2的时候两个音如此和谐，那么，我一直按这个比例搜寻下去，不就可以找到一串动听的音了吗？没错！就是这个理！来，我们数学一点点，我们选定一个基音，标为1，接下来我们就可以生成一个等比数列：…，4/9，2/3，1，3/2，9/4，…按照这个比例，我们就可以找到我们要的音了，是不是so easy！同时，我们还知道两个相差八度的音，其频率比是2：1，两者一结合，我们就可以找到更多音了，博主这就把一个八度“捣来米发嫂拉稀”的比例对应关系写给你们看，大家也可以自己算算看：