计算共形几何讲义：纤维丛和陈类

【2019年五月18号，下午1:30-4:30pm于清华大学，数学系理科楼112教室授课。以后每周六下午1:30-4:30pm，于清华大学，近春园西楼3楼报告厅授课。敬请前来指导，共同探讨。】

纤维丛和陈省身示性类在物理和工程应用方面日益起到了重要作用。陈类的内容优美而深奥，对于初学者在缺乏物理直观的情况下，难以掌握。黎曼面上的全纯线丛相对简洁直观，容易理解计算。

直观而言，我们为曲面的每一点定义一个纤维，纤维丛局部具有直积结构，但整体发生扭曲。整体的扭曲非常难以描述和计算，陈省身先生通过为纤维丛配备一个度量，从而得到曲率形式，用曲率来描述纤维丛的整体扭曲，即为陈类。

下面，我们给出这一理论框架的概述，并且给出目前可以计算的概念和定理。

黎曼面、亚纯函数和亚纯微分

给定一张拓扑曲面 ，具有开覆盖 ，对每个开集存在映射 ，满足 是开集， 是同胚，则 构成局部坐标卡，局部坐标记为 ；如果 ，那么转换映射 为复平面开集之间的全纯映射，则称 为 黎曼面 。

图1. 黎曼面概念。

给定两张黎曼面之间的连续映射 ，取两个局部坐标卡， 和 ，如果映射的局部表示

是全纯映射，则 是黎曼面 和 之间的 全纯映射 。如果逆映射 存在并且也是全纯映射，则黎曼面 和 全纯同构 ， 为 双全纯映射 。

图2. 单值化定理。

著名的 单值化定理 断言：任意单连通的黎曼面都和三种标准空间中的一种全纯同构：球面，复平面，单位开圆盘。

设 为黎曼面， 上满足 的全纯映射 称为 上的 亚纯函数 ，当 时， 称为 的 极点 ；当 时， 称为 的 零点 。

黎曼面 上亚纯函数的全体在通常的加法、数乘运算下构成一个域，它是复数域的扩张，称为 亚纯函数域 。 上所有的亚纯函数记为 。给定一个亚纯函数 ，对于一切 ，取 点附近的坐标函数 并且 ，在 附近 具有 Laurent展开

,

称 为 在 处的 赋值 ，记为 。当 为负值，则 为 的极点，当 为正值，则 为 的零点。

黎曼面 上的微分形式 被称为是 全纯（亚纯）微分 ，如果系数 为全纯（亚纯）函数，当坐标变换时 ，这里

。

上所有的全纯微分构成复向量空间记为 ，亚纯微分构成的复向量空间记为 。

图3. 黎曼面上的全纯微分，及其上的零点。

黎曼面 上的微分形式 被称为是 全纯二次微分 ，如果系数 为全纯函数，当坐标变换时，

。

图4. 黎曼面上的全纯二次微分。

因子、Abel-Jacobi定理、黎曼-罗赫定理

黎曼面上的亚纯函数和亚纯微分非常丰富，亚纯函数域完整地刻画了黎曼面。为了表达一个亚纯函数或亚纯微分，我们只需要给出它们的零极点的位置和赋值，这由所谓的因子来表达。

黎曼面 到整数的映射， ，如果除了有限个点 之外，均有 ，则称 为 上的一个 因子 。 上的全体因子集合记为 ，引入加法运算，

,

则 构成一个交换群，称为 因子群 。 被称为是因子 的 次数 。

设 是黎曼面 上的亚纯函数， 决定了一个因子，记为 ，定义如下， 。亚纯函数所诱导的因子被称为是 主要因子 ，所有的主要因子成群， 。两个因子被称为彼此 线性等价 ，当且仅当它们相差一个主要因子。所有的因子等价类成群，即商群 ，被称为是 因子类群 。

那么如何判断一个因子是否为主要因子呢？这个问题可以由Abel-Jacobi定理来解答。

图5. 曲面典则同伦群基底，和基本域。

如图5所示，由曲面代数拓扑理论，对于亏格为 的封闭曲面，存在典则同伦群基底 ，曲面沿着典则基底切开后得到一个基本域 ，其边界为 。存在对偶的典则全纯微分基底， ，满足对偶条件 。 Abel定理 断言：给定一个因子 ，如果 为主要因子，当且仅当

,

这里积分路径在基本域中任选。

给定因子 ，定义亚纯函数构成的有限维复向量空间：

，

类似定义亚纯微分构成的有限维复向量空间：

，

著名的 黎曼-罗赫定理 断言：

。

应用黎曼-罗赫定理在黎曼面理论中具有中心的位置，我们可以证明满足特点条件的亚纯函数、微分的存在性。

全纯线丛

直观上，我们为黎曼面上的每一点配备一根纤维-复平面，局部开集 的丛就是开集和纤维的直积 。当 时，同一个点 上的纤维有两个局部表示，两个表示之间相差一个复线性变换， ，并且这个复线性变换全纯地依赖于点 。如此的构造，得到所谓的全纯线丛。

设 是黎曼面， 为二维复流形，投影 为全纯满射。如果存在的 开覆盖 及双全纯映射 ，满足条件：

1. 
   

2. 当 时，存在全纯函数 ，使得 .

则称 为 上的 全纯线丛 ，并称 为 丛投影 ， 为 局部平凡化 ， 为 连接函数 。

我们考虑黎曼面上的全纯余切空间 ，其局部坐标为 ，坐标变换函数为

,

由此，全纯余切空间 为全纯线丛。

如果连续映射 满足条件 ，即 ，则称 为全纯线丛的一个截面，如果 为全纯（亚纯）映射，则称为 全纯（亚纯）截面 。所有全纯截面的集合记为 ，紧黎曼面上的全纯截面集合 构成一个有限维复向量空间。黎曼面上的全纯微分就是全纯余切丛的全纯截面。

给定黎曼面的全纯线丛， ，如果全纯映射对 满足条件： ，并且F限制在每个纤维上都是线性同态，则称 为全纯线丛 和 之间的 丛同态 。进一步，如果存在从 到 的丛同态， ，使得F，G为互逆的双全纯映射，f,g为互逆的双全纯映射，则称全纯线丛 和 同构 ， 和 为 丛同构 。

全纯线丛可以表示为局部平凡化开覆盖和联结函数 。从连接函数角度来看， 和 同构，当且仅当存在一族函数 ，满足： ，这里 是 的连接函数。

黎曼面上所有的全纯线丛可以依照同构进行分类，所有等价类的集合记为 。两个全纯线丛 和 的乘积定义为 。如此， 成群，被称为是 线丛等价类群 。

给定一个因子 ，取黎曼面的一个开覆盖 ，使得任意两个开集的交集不包含因子中的点。限制在每个开集 上，存在亚纯函数 ，其诱导的因子满足 。如果 ，则定义全纯映射 ，那么 满足联结函数的条件，由此得到的全纯线丛 被称为是由因子 诱导的全纯线丛，记为 。黎曼面理论的一个基本定理断言： 是 因子类群 和 全纯线丛类群 之间的 Abel群同构 。

我们可以证明线性同构关系 ， 。

度量、联络、曲率和陈类

设 是复线性空间，如果映射 满足条件

1. ；

2. ；

3. ，等号成立当且仅当 ，

则称此映射为 上的一个 Hermite内积 。

设 为黎曼面 上的全纯线丛，如果在每个纤维上都指定一个Hermite内积 ，并且对于 的任意两个光滑截面 和 ， 上的函数 为光滑函数，则 称为 上的一个 Hermite度量 。

设全纯线丛 在开集 上有局部平凡化 ，则在 上存在处处非零的局部全纯截面 ，使得 。记 ，则 为 上的正光滑函数。当 时， ，其中 为 的连接函数。因而有相容性条件：